CHAPITRE VE
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE, DANS LESQUELLES LA DÉRIVÉE ENTRE A UN DEGRÉ SUPÉRIEUR AU PREMIER.
à À dy , À ea 32. Si l’équation renferme . à des puissances supé-
rieures à la première, et qu’elle puisse être résolue par rapport à cette quantité, on aura ainsi plusieurs équations de la forme P dx + Q dy — o que l’on tàchera d'in- Mr Soient o(t, y, c)—0o, m(x,y,c')—0o, etc., ces diverses intégrales dans lesquelles c, c’,..., désignent des constantes arbitraires; toutes les solutions de l’équation proposée seront renfermées dans la suivante :
p(z, ds c).pi(zx, y c'). AO!
On pourra effectuer les calculs en considérant la constante c comme la même dans les différents facteurs; car, comme ils ne doivent être égalés à zéro que séparément, on n’altère en rien les solutions en représentant les constantes par la même lettre.
Soit, par exemple,
on aura les deux intégrales Y=AL+C, Y=—axr +0, et l'intégrale complète sera
(y—ax+c).(y+ax—c)—=o,
EX
a à. Lo À à,
ou, ce qui est plus simple, sans être moins général, (y—ax—c)(y+ax—c)=o, ou (y —c}—a x =.
Supposons plus généralement
dy AFAR
et soit æ une racine quelconque de l’équation F (z) =; on satisfera à la proposée en posant
TEE À OU Y—ar+c, où
On a donc, pour une intégrale quelconque,
et, par conséquent, cette dernière équation est l'intégrale complète de la proposée.
33. Soit maintenant une équation différentielle de degré quelconque, homogène par rapport à x, y,
Jr) Q) +-0)ee
On posera == u; Z d’où dy = xdu + udx, et dy du ——— + ——. + dx dx La proposée devient ainsi *
du \7” du \ #1 (n+24) +F(u) (u+2%) +...+f(u)=o,
d 0 du d et il en résulte m valeurs de u + x — en fonction de u.
Pour chacune d’elles on aura une équation de la forme du ten re (a); d’où l’on tire À dx du za g(u)—u?
et les variables sont séparées.
34. Lorsque l'équation ne peut être résolue par rapport L dy L TA « * à 7 et qu elle peut l'être par rapport à y oux,onaà € :
considére rl’une des deux formes générales
x =F(x,;p), z=F(yr,p),
p désignant le rapport différentiel . Dans l’un et l’autre
cas, la différentiation conduit à une équation du premier ordre entre deux variables p et x, ou p et y. Si l’on peut en trouver une intégrale première dans laquelle ne rentre pas la proposée, on éliminera p entre elle et l’équation proposée, et l’on aura l'intégrale générale cherchée. Ce procédé conduit à une simple quadrature lorsque le second membre ne contient que la variable p.
