Si l'équation a la forme

r=2F (p}+$f(p), la différentiation donne pdxz = F(p)dx + xKF'{(p)dp + f'(p) dp.

Cette équation, étant du second ordre, a deux intégrales du premier : lune, qui coïnciderait avec la proposée augmentée d’une constante; l’autre, que lon obtiendra par de simples quadratures, en observant que cette équation.

est linéaire par rapport à x et dx." Éliminant p entre cette intégrale et l'équation donnée, on aura l'intégrale générale, et l’on en déduira les intégrales singulières d’après la théorie exposée précédemment.

36. Dans le cas particulier où F(p) =p;,ona | x = pr +f(p); en différentiant , il vient o=[x+f'(p)]dp,

équation à laquelle on satisfait de deux manières. Si l’on pose dp — o , il vient p —c, et éliminant p, on a pour l'intégrale générale

7 = cx + f(c).

Si l’on pose x + f'(p) —0o, et que l’on élimine p entre cette équation et la proposée, on aura l'intégrale singulière; car la valeur de p tirée de la dernière équation sera une fonction de x, et l’élimination conduira au même résultat qu’en substituant cette fonction de x à € dans l'intégrale générale : la solution qu’on obtient ne résulte donc pas d’une valeur particulière attribuée à la constante.

.. On voit d’ailleurs qu'éliminer p entre x + f'(p) =0 ety = px + f(p) revient à éliminer c entre z+f" (ce) = 0 ret M cætE los

et comme x +f” (c) est la dérivée de cx +f{(c), par rapport à c, on parviendra à la solution singulière de l'équation dont y — cx + f (c) est l’intégrale générale.