Nous allons appliquer à la résolution de quelques
questions géométriques le procédé que nous venons de faire connaître.
INTÉCRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 55 Soit proposé de trouver une courbe telle, que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points fixes sur une quelconque de ses tan gentes soit constant. Désignons par 2 c la distance de ces deux points, et par b? le produit des perpendiculaires ; prenons pour origine le milieu entre les deux points donnés, et pour axe des x la droite qui les joint : la condition donnée conduira immédiatement à l'équation
(T -— pr) — € p° — + b:, 1 + p°
le signe supérieur correspondant au cas où les deux points sont d’un même côté de la tangente, et le signe inférieur, à celui où ils sont de côtés différents. On tire de cette équation
(0) pet V(eEb)p Eb;
ce qui est un cas particulier de l’équation x =p2 + (bp).
En suivant la marche indiquée généralement, on trouve
(2) er
+ bp + b?
posant dp = 0, d'où p — «, « désignant une constante arbitraire, puis éliminant p entre cette dernière équation et l'équation (1), on aura l’intégrale générale
y = ax + V(e Hb?)E b!?,
qui représente une infinité de droites, tangentes à la courbe ayant pour équation
(3) À isa on pr Ed D def an À Aa: dd
d'ou l’on peut déjà conclure que cette courbe est la solu- P ] I
tion singulière, puisqu'elle est l'enveloppe des intégrales particulières.
Dans le cas où l’on prend les signes supérieurs, elle n'est autre chose qu’une ellipse dont les foyers sont les deux points donnés , et dont le petit axe est égal à 2b. Si l’on prend les signes inférieurs, les deux points étant de côtés différents de la tangente, les perpendiculaires sont respectivement moindres que les segments de la droite égale à 2c, d’où résulte c<< b. La courbe est donc alors une hyperbole ayant pour foyers les deux points donnés, et pour axe imaginaire 26.
Le second facteur de l'équation (2) doit aussi donner la solution singulière, comme cela a été démontré généralement. En l’égalant à zéro, on a
PAGE FUIT. 0 Vie + bp b? Re.
LA
Éliminant p entre les équations (1) et (4), on retrouve l'équation (3), comme cela devait être.
Dans cette question, la courbe que l’on avaït en vue de déterminer est donnée, non par l'intégrale générale, mais par la solution singulière; ce qui montre que cette dernière doit toujours être cherchée avec le même soin que la première.
98. On donne deux parallèles, et sur chacune d'elles un point fixe; et l’on demande l’équation de la courbe telle, qu'en lui menant une tangente quelconque, les segments déterminés sur chaque parallèle entre le point fixe et le point de rencontre avec la tangente donnent un produit constant b?.
Soit 2a la droite qui joint les deux points fixes; pre nons l’origine en son milieu, l’axe des x suivant sa direction, et l'axe des y parallèle aux deux lignes données.
La condition donnée fournit l'équation
(y — px) — a p=E 6.
Le signe + du second membre se rapporte au cas où les deux segments seraient d’un même côté de l’axe des x, et le signe — au cas où ils seraient de côtés différents.
On tire de cette équation
Y = px + Vap + VER
d’où, en différentiant, dp ap ce (+ + —— Pia = OÙ dx ; Va? p'E b: DE bd b:
On aura l'intégrale générale en posant OU d'où #'ecua:
& désignant une constante arbitraire, et substituant à à p dans l'équation différentielle de la courbe; ce qui donne Y=ax+ Va’ + b2.
On aura la solution singulière en éliminant p entre l’équation différentielle de la courbe et la suivante :
d* p Va pi b° an Ce calcul conduit à équation
dy ba ube,
qui représente une ellipse ou une hyperbole, rapportée à un système de diamètres conjugués, suivant que l’on prend les signes supérieurs ou les signes inférieurs.
L’ éule générale représente toutes les tangentes à l’une ou à l’autre de ces deux courbes.
39. Proposons-nous encore de déterminer la courbe telle, que la partie de chacune de ses tangentes, interceptée entre deux droites rectangulaires, soit égale à une quantité donnée a.
En prenant les deux droïtes rectangulaires pour axes de coordonnées, on est conduit à l'équation
ap Vi+p:
le radical comportant le double signe. On trouve, en la
différentiant, PAS dp k + sr 0!
L'intégrale générale sera, en désignant par c une constante arbitraire,
