Y = PT

ac FY=CLT+

V I+C on obtiendra la solution singulière en éliminant p entre l'équation différentielle de la courbe et la suivante :

On tirera d’abord

qui, remis dans la première, donne

CPAS Fes:

PSE (2 LES a x urant de là la valeur de p, et la substituant dans la précédente, on parvient à l'équation 2 2 3

Sr À

dont la discussion est très-facile.

Nous allons démontrer maintenant que cette courbe n'est autre que l’épicycloïde qui serait engendrée par un a

point d’un cercle ayant pour rayon - et roulant intérieu-

rement sur un cercle de rayon a.

En effet, soit OB (Jig. 1) un rayon quelconque d’un cercle ayant pour rayon a; décrivons un cercle qui ait pour diamètre BC, moitié de OB, et prenons l’arc BM égal à l’arc BA, A étant un point fixe du premier cercle: le point M appartiendra à l’épicycloïde en question, et il s’agit de prouver que [a partie de sa tangente au point quelconque M, qui sera comprise dans l’angle droit YOX, est égale à a.

Or, la normale à cette courbe étant BM, la tangente sera MC, et il faut prouver que l’on a LN — a.

Remarquons pour cela que, d’après la théorie de la mesure des angles, et la condition AB — BM, l’angle BCM est double de NOC, et par conséquent NOC — CNO; d'où CN — CO. |

On prouverait de même que l’angle LCB est double de LOC, et que, par conséquent, LOC — OLC, d’où LC—OC

et, par conséquent, LN — a; ce qu’il fallait démontrer.

40. Équation difiérentielle de la développante du cercle. Son intégration. — Désignant par x, 6 les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe quelconque, et par x, y, celles du point correspondant de sa développante, on aura les deux équations

dire da aœ—x

dx dé dé 6—7y

Dans le cas où la première courbe est un cercle, on a Gt 07,

et on aura l'équation de sa développante en éliminant

Go LIVRE 1V.

et 6 entre ces trois équations. La dernière donne da 6 d6 & qui, combinée avec la seconde, donne ax + 6y = a?.

La première devient

et l'élimination de « et 6 conduit facilement à l'équation du second degré

(1) (x dx + y dy} = a (dx! + dy),

qui, résolue par rapport à y, pourrait être traitée par la méthode précédemment indiquée, calcul que nous n’effectuerons pas. On en déduit d'abord une relation trèssimple entre l’arcs et le rayon vecteur r mené du centre.

En effet, puisque x°+ y°= 7°, on a

+xdx + y dy = rdr;

de plus

dx? + dy?= ds’:

on obtient donc immédiatement

| rdr = ads,

F ‘ , . 4 72% équation que l'on trouve directement par la figure; d’où résulte

r—=2as + C.

S1 l’on fait commencer les arcs à partir de la naissance de la développante, on aura r = & pour s = 0; donc