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dantes y, z; et la différentielle totale de x renfermera à la fois cette fonction et les variables indépendantes : P, Q,R étant des fonctions quelconques de x, y, z.

Si l’on connaissait la valeur de x en y et z, en la re-

Q R mettant dans ces trois fonctions, — p ©t —5 seraient

identiquement les dérivées partielles de x par rapport à y et z. Donc d’abord, si l’on cherche la fonction la plus générale de y qui satisfasse à la condition que sa dérivée,

\ » Q Le . AT à ar rapport à Soit — =; Zg étant considéré comme une P PP Jo P

constante, la valeur cherchée de x sera renfermée dans celle que l’on aura ainsi déterminée; et il ne restera plus qu'à l’assujettir à satisfaire à la seconde condition.

ù sue TA £ dx Il faut donc d’abord intégrer l'équation ps 2 % ou

P dx + Q dy = 0,

dans laquelle z est une constante. Ce problème rentre dans la théorie précédente ; et, en le supposant résolu, on aura une équation U —o entre x, y, z, GC; C désignant une quantité arbitraire, indépendante de x, y, maïs qui peut rénfermer z d’une manière quelconque; et il s’agit maintenant de déterminer C, s'il est possible, de manière que la dérivée partielle de x, par rapport à z, soit identis

R . ; e « quement — 5° àu moins, lorsqu'on aura substitué à x sa valeur tirée de U — o.

Différentiant l'équation Ü — 0, en traitant y comme constant, 1l vient

dz dx \ dz AC: AT E

adÜU '1auU (æ) dU dc

: . dx R ; ; NES et substituant à la valeur — 5 quil doit avoir, il sera Z CR

nécessaire et suffisant de satisfaire à l'équation

dU RdU dUdC.