RU PLU? TA DER EL

dans laquelle x est censé remplacé par sa valeur.

Mais, comme C ne doit pas renfermer y, il est nécessaire que la substitution de x dans cette équation en fasse disparaître y. Si cela n’a pas lieu, le problème est impossible; et si cela a lieu, on a une équation différentielle du premier ordre entre C et z. Son intégrale générale renfermera une constante arbitraire; et reportant la valeur de C, qu'on en déduira, dans l'équation U — 0, on aura l’équation qui détermine x de manière à satisfaire aux conditions proposées.

On voit que la question n’est pas toujours susceptible d’une solution, et que, quand elle en a une, l’intégrale est donnée par une équation entre x, y, z, qui renferme une constante arbitraire, et que l’on obtient par l'intégration de deux équations du premier ordre, à deux variables.

42. Il suit de là que quand la question proposée est possible, l'équation différentielle résulte de l'élimination d'une constante arbitraire entre une équation à trois variables et sa différentielle totale égalée à zéro; et cette considération va nous conduire à un proposition importante.

Soit V — C’ l'intégrale de l'équation (1) résolue par rapport à la constante arbitraire C/. En la différentiant, l'élimination de C’ se trouvera effectuée, et le résultat sera identiquement le même que si l’élimination s'était faite autrement.

L'équation (3) EE Res M AVAL

dx dy dz