II

dz +0

1 6,2 HO. 14 ; 108 n !

devra donc être identique avec l’équation (1}, lorsqu'on aura réduit le coeflicient de la même différentielle, par

exemple de dx, à avoir la même valeur de part et d'autre. dV

Multipliant donc l'équation (1) par ac elle devien-

dra identique avec (3), et son premier membre sera, par conséquent, la différentielle exacte d’une fonction V des trois variables indépendantes x, y, z. D’où se tire cette conséquence, que lorsque la question admet une solution, le premier membre de l'équation donnée devient une différentielle exacte quand on le multiplie par une certaine fonction des trois variables.

Soit u. le facteur tel, que mP dx + 1 Q dy + uR dz soit une différentielle exacte, on aura les trois conditions sui-

vanies :

d'hier tds ddl d'A... HAROSS PE ep En TU TS 9 mi” Ra =

dy dx dz dx 7 dz dy

ou, en les développant, dP d'p dQ dP dy dR dp Fa. de ddr ‘dr dQ dd GR NUE p—+QL=p- +R E dz dz dy dy

Si l’on multiplie la première par R, la seconde par — Q, la troisième par P, qu'on les ajoute ensuite, et que l’on supprime le facteur x, on devra avoir identiquement

Hr(R-S) +R) +R

Il sera donc inutile de chercher à résoudre la question quand cette identité, facile à vérifier, n’aura pas lieu.

Réciproquement, toutes les fois qu’elle aura lieu, la question admet une solution; car nous allons démontrer que dans ce cas le premier membre de l'équation (2) devient indépendant de y quand on en élimine x.

Mais, pour plus de simplicité, nous supposerons que l'équation Ü = o ait été résolue par rapport à la constante C, et soit remplacée par U —C, ce qui ne changera rien aux conditions. L’équation (2) se change alors en Ja suivante :

dU dÜ déiifrdG Ll dz pétasse

et il faut toujours que la substitution de x en fasse disparaître y.

Soit # le facteur qui rend Pdx + Q dy différentielle exacte; on a 0P dx + vQ dy = dU et dU dU

SORENE 2 4Qi==

ds dy

La quantité qui ne doit plus renfermer y est

dU dU dx dU F dz N' Le pre es LE

et il suffit d'exprimer que sa dérivée par rapport à y est nulle, en considérant x comme une fonction de y, dont la

dérivée partielle par rapport à y est — 6 On obtient ainsi

dy drx D

dz dy didxz P dy. dx P ip

dU AUTO ( dR $) R(T Jp S 1 Maur 0 rer à 14