DES ÉQUATIONS LINÉAIRES D'UN ORDRE QUELCONQUE

43. On appelle ainsi celles dans lesquelles la fonction cherchée et ses dérivées jusqu’à l’ordre m n’entrent qu’au premier degré, et ne se multiplient pas entre elles. Leur forme générale est

ad" y CE TAr

() dx" Pr +T Rs +Ur= Ya

A,..., U, V étant des fonctions quelconques de x. Ces équations jouissent d’une propriété remarquable, lorsque le dernier terme V manque. Elle consiste en ce que la somme de plusieurs solutions forme encore une solution de la même équation.

Soit, en effet, l'équation d" y 11 im 14 2 —— + À ——— Tr? Ur10 (2) de" 7 dem CT ES dx “ap Sd Si Y19 V2, ete., sont des fonctions qui satisfassent à cette équation, on aura

d" y: TT dy:

dx” CAR Er NE US ad" y: dry: dY2

AP Dan es des de ©

Ajoutant ces équations, on aura le même résultat que si l’on substituait y; + y: +...+ y, à y dans (2). Donc la somme d'un nombre quelconque de fonctions de x

70 LIVRE 1V. | qui satisfont à l'équation (2) forme encore une solution de cette équation ; et, par conséquent, si l’on connaïssait un nombre m d’intégrales particulières renfermant chacune une constante arbitraire, leur somme serait l'intégrale générale.

On observera d’ailleurs que si une valeur de y est connue, on peut la multiplier par une constante arbitraire, sans qu'elle cesse de satisfaire; de sorte que si les mn fonctiONS V1 Y25 +++ Ym Satisfont à l’équation (2), son intégrale

générale sera T=UŸi + VrHe EF CnYns

Ci» Cas...) Cm désignant des constantes arbitraires, et en supposant qu'on puisse les déterminer de manière que pour une valeur quelconque de x, les valeurs de y, dy ar y

ER à re soient tout à fait arbitraires.

TL 5 AÈE)

+ 44. Lorsque l’on aura à intégrer l'équation (r), on commencera par chercher à intégrer l’équation (2) qui estplus facile. Si l’on y peut parvenir complétement, nous allons montrer comment on en peut déduire l'intégrale générale de lPéquation (1).

Soit SU FC Vtt... FER Na

l'intégrale générale de l’équation (2) quand on considère Cio Coprs Cm COMME des constantes arbitraires. Il est évident qu’on peut, d’une infinité de manières, substituer à ces constantes des fonctions de x telles, que l’on obtienne l'intégrale générale de l'équation (1); et nous allons voir que l’on peut en avoir une détermination qui n’exige que

de simples quadratures.

En différentiant l'expression ci-dessus, on obtient

dy = 0 dyi+ cdÿ3 + + Cm dm + 1 di + Pa dE + ee Nm Cmns

Oron peut assujettir ci, C:,: 2, Ch à la condition Yi dc + Yade +... + Ym dm =;

et il en résulte ay = Ci dYi + Ca dYa +. «+ Cm dYm:

On différentiera cette nouvelle équation, et l’on égalera encore à zéro l’ensemble des termes qui contiendront les différentielles de; , des ,..., de, ; et l’on continuera ainsi jusqu'à d"—! y inclusivement : on aura, de cette manière, m — 1 équations entre les différentielles dc,, dc;,..., de, et des fonctions connues. Substituant ensuite dans l’équation (1) les valeurs de y, dy... , dy, on aura une dernière équation qui, jointe aux premières, déterminera complétement les inconnues ci, C:,..., Cu.

Ces m équations sont les suivantes :

Yi dc Hit Y2 de: Ebrrt Mr | ne4 —=O, dy, de, + dÿ3 des +. + dYm dm = 0, dy de + dy, dc, +i..+ dd? yndn T0, du yide + d"! yide; +...+ dd" Yndcn = N dx",

et il faut bien remarquer que ces équations peuvent avoir lieu en même temps si l’on est parti de l'intégrale générale de l'équation (2). En eflet, les coeflicients de des ,..., dc, sont précisément ceux que l’on aurait pour

dans ONE de ps Dionens API Ci 2°... CC ans es expressions e VE ne 920. 9 da , en

désignant par y l'intégrale de l'équation (2). Or nous supposons que, pour une valeur quelconque de x, on peut satisfaire aux équations obtenues en égalant ces expressions à des quantités quelconques, et en tirer des valeurs finies c,,..., c,. Donc aussi le système des équations où de; ,..., de, entrent de la même manière, ne renfermera

aucune incompatibilité. Il donnera, pour ces inconnues, des valeurs de la forme

dé = X\ dr," de, = X 02 OO RE d'où €: = [X;dx + œ, = fX:dx+ 03,3 Cn=f Xm LE + &m

et (3) r=ri( + Xidx)+y (cs + fX:dx) +... +7 mom + f X md).

C’est l'intégrale générale, puisqu'elle renferme m constantes arbitraires.

45. Si l’on ne connaissait pas m intégrales particulières de l’équation (2), la question ne serait pas ramenée immé: diatement aux quadratures.

Supposons, par exemple, que l’on en connaisse m—1 intégrales particulières, on ne pourra plus établir que m— 2 conditions entre les m— 1 quantités c:,C:,..., C1: Alors l’expression de d'y renfermera de, .…, de,.3 et d"y renfermera d°?c,,..., dc, La substitution dans l’équation (1) fera toujours disparaître C4, C»,..., Cm 1, Maïs leurs différentielles premières et secondes y entrercent; et commeles #— 2 équations établies entre dc,, dc:,...,de,, 1 déterminent ces différentielles en fonction de dc;, on aura une équation linéaire du second ordre qui renfermera des, dci, mais non c;,. On la ramènera au premier ordre, sans qu'elle cesse d’être linéaire, en posant sa — z. Elle pourra toujours s'intégrer complétement, et il s'introduira ainsi deux constantes arbitraires. De simples quadratures feront ensuite connaître les m— 2 autres quantités Co, Cgpers Cm 19 €t il s'introduira ainsi m — 2 nouvelles constantes arbitraires, de sorte que la valeur dey

PUY GŸats ie + Cm Yan

renfermera rm constantes arbitraires, et sera, par conséquent, l'intégrale générale de l’équation (1).

46. Si l’on n’avait connu que m — 2 intégrales de l’équation (2), on n'aurait pu établir que #1 —3 relations ENTTE C4y Caye..s Cm 2y Et l'équation (1), après la substitution , aurait renfermé les différentielles troisièmes. L’élimination de c:,..., c,: aurait donné une équation linéaire du troisième ordre renfermant dc;, d’c; dc, mais non C,. On pourrait donc encore l’abaisser au second ordre, sans qu’elle cessàt d’être linéaire ; et si l’on pouvait l’intégrer complétement, on en déduirait, comme dans le cas précédent, l'intégrale générale de l’équation (1). En appliquant les mêmes raisonnements , on verrait que si l’on connait m — n intégrales particulières de l'équation (2), l'intégration complète de l’équation (1), et, à plus forte raison, de l’équation (2) est ramenée à celle d’une équation linéaire de l’ordre n, et à de simples quadratures.

47. Il est facile de démontrer que l'intégrale générale de l'équation

dr At ty dy (a) M no Ne US =—0

est nécessairement de la forme = HF Oÿit.. + Cm Yme

En effet, soit y, une solution de cette équation; supposons qu’elle ne renferme aucune constante arbitraire, ce qu'on peut toujours faire, puisque, s’il en existait, il n’y aurait qu à leur attribuer des valeurs particulières. L’équation (&) admettra pour solution

YF = CYi;

e désignant une constante arbitraire. Considérant main-

tenant c comme une fonction de x, on aura

dy = y, de + cdy,;, dy = y, d'c + 2dy, dc+ cd?y;,

En substituant dans l’équation (4), les termes multipliés par c disparaissent, et l’on a une équation linéaire de la

forme dc dm—tce de

—— +, , ET, — — dx" Fe | da dE Los: dx v3

de et, en posant — — u,

dx dm !'ù dau (b) not bars ES RTE

Soit u, une solution de cette équation, sans constante arbitraire, c'u, en sera encore une, et l’on aura

c—c'fudx +c”, d'où y=c’y:+ cri fudx.

On a donc une solution de l'équation (a), de la forme FF = CGT: + C2 2 9

Y2 étant une fonction de x différente de y1.

Donc, puisque cela peut s'appliquer à toute équation linéaire, on aura une solution de l'équation (b) de la forme

u = au, + 6, d’où c— «fu dx + 6[u;dx + 4, el, par suite, à dr ay, fudx + 671 fu: dx + YY1

v'est-à-dire que l'équation (a) a une intégrale de la forme

F= VF + C2 + CVs

Il en sera donc de même de l'équation (b), et ainsi de

suite, jusqu’à ce que l’on ait pour y une expression ren-

fermant m constantes arbitraires, et qui sera l'intégrale générale.