Le calcul précédent conduit encore à cette impor
tante proposition, que l'équation (a) ne saurait avoir de
solution singulière. Supposons, en effet, qu'il y en aitune,
et désignons-la par y:, après qu’on aura remplacé par des valeurs particulières quelconques les constantes arbitraires, si elle en renferme. Les raisonnements qui ont été faits dans le numéro précédent conduiront encore à une valeur de y de la forme
I =UYi FOÿa Hess CnŸ ms
qui sera nécessairement l'intégrale générale. Mais y, s’obtient en supposant nulles toutes les constantes excepté c; : elle est donc une intégrale particulière, quelques valeurs qu'on y ait mises pour les constantes, et non une solution singulière, comme on l'avait supposé. D'où il suit que les équations renfermées dans la formule (a) ne peuvent jamais avoir de solutions singulières.
49. Cas où l’on connaît une intégrale particulière de l'équation (1).— Lorsque l’on connaît une intégrale particulière de l'équation (1), on peut ramener la recherche de son intégrale générale à celle de l'intégrale générale de Péquation (2).
Soit, en effet, u cetie intégrale particulière; on posera y =u+zdans l'équation (1), eten supprimant les termes qui se détruisent d’après l'hypothèse, il restera
m m—1 283 CES +TE+U:=0, et l’on est ramené, par conséquent, à la recherche de l’intégrale générale de l'équation (2).
Soit pour premier exemple dy dy par + A pre +... . + Üy = ax" + bx" =" +... Tr PL A,..., U,@,..., q étant constants.
On posera
ÿ = Qui CE GATE + x +.
On identifiera les deux membres après la substitution dans l'équation proposée, et il en résultera 7 + 1 équations qui détermineront les 7 + 1 inconnues #, HE | | On rentrera donc dans le eas où le second membre serait nul.
Soit pour second exemple
a" m1 x AT ES .+Uyr=acos(rx+p) LD sin (7x + p),
d. PAU n d. 2e {
on posera
y = «cos (nr +p) + 6 sin (2x +p).
En substituant dans la proposée, le premier membre ne se composera que de termes dont les uns renfermeront cos (7x +-p), les autres sin (2x +p); multipliés par des constantes. En égalant les coefficients de ces deux expressions dans les deux membres, on aura deux équations qui détermineront «, 6. Mais il peut se faire que ces équations soient impossibles : par exemple si cos (1x +p) ou sin (2x +p) étaient solutions de l'équation sans second membre.
Ainsi, soit le cas suivant qui se rapporte à des valeurs
imaginaires de 72,
His FT my = on aura une solution en posant
et”
Q — mn°
mais elle devient illusoire si g — m. On emploiera alors un artifice dont nous avons déjà fait usage autre part. On ajoutera une solution de l’équation sans second membre, y=ce"*, ce qui donnera une solution de la proposée,
dans laquelle on supposera encore q différent de m;
savoir e1 b qg— m? + ce” ?
et on choisira C de manière que cette somme se réduise
rl et
à = pour g=m. Il suffit de prendre C— —
quel que soit g, €" — q° — mm?
sera solution de la proposée. Faisant tendre q vers la constante M, on trouvera pour limite de cette fraction
Te
on connaît donc ainsi une solution de l'équation
et l’on aura par conséquent pour son intégrale générale
T en
if »'pas
+ cer +H Ce re,
On agirait d’une manière analogue si Le second membre renfermait, en outre, des termes semblables dans lesquels
les coefficients z et p seraient changés. Et généralement si l’on a
ÉETT : thin à PME ui Ur =F{(x) +f(x) + o(x) +...
et que l’on trouve des valeurs de y satisfaisant à cette équation, dans laquelle on réduira le second membre à l’une des fonctions respectives F(x), f(x), o (x),... la somme des valeurs ainsi obtenues pour chacune de ces fonctions successivement, satisfera à la proposée. Remarque. — Si l'on connaissait m+ 1 intégrales particulières 1, Vas...» Ymy1 de l'équation (1), les diffé- TENCES Ya — Vis Va — Vases Vmyt — YA Satisferaient à d" z
DER 4 Uz<0.
sl L'intégrale générale de cette dernière serait done
2= (Ya Vi) + + Cm mt = Ÿ), et l'intégrale générale de la proposée serait Y=ri+ (ratr dde + Cm (Yniti re Yu)
50. Autre méthode pour l'intégration de l'équation linéaire complète. — M. Cauchy a donné une méthode pour trouver une intégrale particulière de l'équation
(1) — + À = HS. PUF —= FES),
quand on connaît une intégrale de ja suivante,
d" Z dr-1 Z (2) us + np +... U2=0,
telle que pour x — «&, on ait
dz Fr dn—2 3 dr 1 Z VERS 0, Let, USE ui — +2);
Zz=0O,
quelle que soit la constante & : et l’on conçoit qu'on pourra toujours trouver une valeur de z satisfaisant à ces conditions, si l’on connaît l'intégrale générale de l’équation (2), qui renferme m constantes arbitraires.
Soit, en effet, z= f(x; «) cette valeur de z. Posons
TX LT LL flma)de= [ zda; 0 0
nous en déduirons d df(x, «) de 7 Ces 60e Li
Mais par hypothèse f (4, «) est nul, quel que soit «; donc
f(x, x) = 0, et l’on a seulement
On irouvera de même
dy ji d’z “ne TEE da, …..
dx? OT: «1
Substituant à y et à ses dérivées les valeurs ainsi obtenues dans l'équation (1), elle devient
dr z d"\ 3 Î En FA +...+Uz) di+F(x)=F(x),
ce qui est une identité en vertu de l'équation (2).
Connaïssant ainsi une solution de l'équation (1), on aura son intégrale générale, en y ajoutant l'intégrale générale de l'équation (2).
formule relative aux intégrales d'ordres supérieurs.
