Si dans l'équation (1) tous les coeflicients sont

nuls, excepté le dernier, on a une équation de la forme

dr ÿ (2) ape mt) 2

V étant une fonction quelconque de x. En intégrant m fois de suite par rapport à x, on aurait la valeur suivante

de 7 :

m pe Var [dt j dr.: LINE RE EC

Mais, au lieu de quadratures successives, on peut, au moyen d’une formule que nous allons faire connaître, exprimer y par une suite de quadratures simples , indépendantes les unes des autres.

On aura d’abord, èn intégrant par parties, et en omettant les constantes,

JE'Vdx= [dx [NV dx = x f NV dx — [Nxdz,

J'Vdre — (2 [V dr — 2x fNxdx + [NV x’ dx).

En continuant d'intégrer successivement et opérant les réductions, on reconnaîtrait que les coefficients numériques suivent la même loi que ceux du développement de (a — b)", et que l’on a

1 V dx" \

xt [NV dx — Ge) ie pyes o LE |

sh note (nl) (R= ALU 1.2...(7—1) do

Tim \ E Vzr®=! dx

Mais, pour démontrer rigoureusement cette formule ;

supposons qu'elle soit vraie pour une certaine valeur 7, et prouvons qu’elle sera encore vraie pour 7 +1.

Or, en partant de la dernière formule supposée exacte, on trouve, en intégrant par parties,

fi] 1 V dr®+i

E 3 A dr = et fVrdr

: phare var, hi L Via 7 à lt) Re a PE PETER A OR Ka ra) N ax dr 2 na n(n—1) a " I EC 2 [V x" da 1.2... | n(n—1)(r—2) (Gè—p+i) sn € "7 LANTR Or on a ({—i)= 1" et LRFI— 0; donc yep re} FI ee 1:

et la formule précédente devient

ni +1 1 V dr"

ñn a (N dx —-— 2 [NV xdx +...

a" [N dx ; JV xdx + n(r—1)...{n— p+1) ie ET

ar EE) dx II. 6