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La loi en question est donc vraie pour l'indice n + 1, si elle l’est pour l’indice 7; et comme elle a été reconnue pour # — 2, elle est démontrée pour toutes les valeurs
entières de 72.
Ainsi la valeur générale de y, qui satisfait à l’équation (2),sera, en rétablissant les constantes,
Po —
an [de — ET [Yade +...
y = — (ei). (mp) SEM M MP ARE 1) CPS EN x fNarda Tr...
CE Viens dx
HR Qu Ca. Ce Équations linéaires à coefficients constants.
52, La forme la plus générale de ces équations est la suivante :
d'y TES à dy TE ot dre Te RIUREENS
Si l’on suppose d’abord que le dernier terme V soit con-
lé fa diet K stant, on le fera disparaître en changeant y en y + 7 de sorte que l'équation qu'il suffit alors de considérer est
7 ins à dr Y dy I —— À —— É jé T — — (1) dre Bi dan DHESSS sait CRE et si l'on peut en trouver 7” intégrales particulières, on formera l'intégrale générale en les multipliant chacune par une constante arbitraire, et les ajoutant. Posons — e“*, a étant indéterminé, et substituons dans l’équa-
tion (1), il vient
(2) a+ Aa“-\+...+ Ta + Ü=r.
y : LR
On aura donc rm intégrales particulières en prenant successivement pour a les #1 racines de cette équation. Si DOMINER par u{,43,.::, 4, L Par Ci, Cao « eo Cm des constantes arbitraires, l’intégrale générale de l’équation (1) sera
(3) F=CEMT RENTE, , LC, CmE,
93. Il est facile de démontrer que cette équation donne bien l’intégrale générale de l’équation (1). Il suffit, pour cela, de faire voir que pour une valeur particulière X = «, on peut déterminer les constantes de manière que
dy dri+1 ARR Lt:
» Soient égaux à des quantités arbitraires.
On remarquera d’abord que ces constantes étant entièrement indéterminées , on peut mettre y sous la forme
(4) RL T ARE TRS C> e (ao us + CmetmtE— a)
et l'on aura, pour déterminer c,, c, 5: Cm IS ÉQUations suivantes dans lesquelles y,, y’, ,... sont les valeurs de y et de ses m—1 premières dérivées pour x = & :
C + CG +: , + Cm = Ÿo; !
AC + Co +. + mm = Ÿ 59 2 2 2 12 (5) Ai HA; CH. Ha Cm = ÿ 5
Des équations du premier degré de ce genre conduisent à des formules dont il n’est peut-être pas inutile de rappeler ici la démonstration.
| Multiplions la première équation par une indéterminée k, la seconde par k', etc., et la dernière par 1, puis
ajoutons-les, nous aurons (A+ ka Heat... Ha") a+(k+ k'atklai +4.) +...
(mi).
= AT ot UE 7 Es ÉSPOOTONRSS
pour déterminer c,, nous égalerons à zéro les coefficients de Carey Cmy CE Qui donnera, pour déterminer k, #',..…, k(7T?), les équations en même nombre
hors ka; + À ar +... + a, 0:
k + Ka; + Kai +...+ a —=o,
me
Les premiers membres de ces équations ne sont autre chose que les valeurs que prend le polynôme
k+ ka + kate A4 al
que nous désignerons par o (a) dans lequel on remplace successivement & par toutes les racines de l'équation (2), excepté a,: le polynôme (a) aura donc pour racines. As Anse +) 4m) til en résultera
pa)=(a—a)(a—a)...(a—an)= pt
en représentant par F (a) le premier membre de l’équauüon (2). De cette équation l’on déduit
o(ai) Eat, et l'on aurait de même e (&) — F'{@),
et ainsi de suite; de sorte que si l'équation (2) n’a pas de
racines égales , les dénominateurs des inconnues c,,c:,..., qui sont F’(a,), F' (a2) , seront différents de zéro, et par conséquent On pourra satisfaire aux équations (5); ce qu'il fallait démontrer. Les équations (4) ou (3) représentent donc bien l'intégrale générale.
Achevons maintenant ce qui se rapporte à la détermination de ces inconnues, par exemple de €; ; sa valeur est
An + y +. re
D F'(a;) Il ne reste donc qu'à connaître les valeurs de #,k',...;
or elles résulteront de l'identité F(a)
Gi;
KL Fat} a+... + ami —
Il suffira de développer le quotient fini de F (a) par a—a,, et les coefficients des différentes puissances de & seront k, &,.... Les formules que l’on obtiendra ainsi conviendront pour &:, 43,... par la simple substitution de ces racines respectives à &1.
Nous nous bornerons, sur ce point, à l’examen du cas général où les racines sont différentes, et nous ne traiterons pas le cas particulier où il y en aurait d’égales.
54, Sil'équation (2) a des racines imaginaires, la valeur (3) de y se présentera sous forme imaginaire; mais rien nest plus facile que de lui donner une forme réelle. Soient 4 +6 /—1 deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (2), les termes qui en proviendront dans la formule (3) seront de la forme
Aëe+6V—i)> sp x—6v—1) é ou
get (A GE VET pe —6r Vs),
ou exicore Er | A (cos6x + V—1 sin6x) + B(co$6x — N BA sin6x ) |.
Or, À et B étant des quantités arbitraires, réelles ou imainaires, on peut les déterminer de manière qu’on ait g , on peut les dét de maniè
M et N étant des consiantes arbitraires. Les deux termes que nous considérons dans l'équation (3) seront donc remplacés par
e**{(M coséx + Nsin6x),
et La valeur de y se présentera sous une forme réelle.
99. Si l'équation (2) avait des racines égales, les termes correspondants de la formule (3) se confondraient en un seul , et l’on n’auraït plus l'intégrale générale de l’équation (1}, puisqu'il n'y aurait plus » constantes arbitraires. Mais 1l est encore facile de trouver dans ce cas l’intégrale générale.
Soient 4, et a, deux racines que l’on suppose égales. On peut altérer infiniment peu les coeflicients de l’équation (1), de telle sorte que l'équation (2) n’ait plus de racines égales, et que, par conséquent, la formule (3) donne l'intégrale générale. Lorsque les coeflicients tendront vers ceux de l'équation (1), cette intégrale tendra vers une limite qui satisfera nécessairement à l'équation proposée, et qui en sera l'intégrale générale, si elle renferme m constantes arbitraires.
Soit a, + 0 la valeur de la racine qui tend à se réduire à a,. Les termes correspondants à 4, et a, + 0 dans la va-
ae PRE OT leur de y seront ce" + c'e” , OU
et des (ide + TE 9
ou, en posant c+c'— À, c'o—B,,.
