B PAR DEC GE

les constantes c et c” étant arbitraires peuvent toujours être choisies de manière que B et A aïent des valeurs finies quelconques, quelque petit que soit d. Donc, à mesure que 9 tend vers zéro, la somme des termes que nous considérons tend vers la limite Ae“* + Bxre“*, et la formule (3) se change en celle-ci :

(6) Y = eNE(A+ Br) + cent +... + cnetme,

Cette valeur de y est l'intégrale générale, puisqu'elle renferme m constantes arbitraires.

96. Si trois racines étaient égales, on supposerait d’abord l'équation modifiée de manière que deux racines seulement fussent égales, ce qui conduirait à la formule (6); on y remplacerait a, par a, + d', et l’on aurait

F 2 0? pa Ë Mens | (A+c)+(B+c0) X-+-C: g— +c, RSR fe.

Or, A, B, c4 étant arbitraires, on peut poser — = C, B + c,0 = B, A +c;= À,

A’, B’, C’ étant de nouvelles constantes arbitraires ; et, faisant tendre d vers zéro, on aura pour l'intégrale générale

Y = es (A + B'x + Ca) + ceut+.. + cnétme,

On continuerait de la même manière si l’on supposait

une quatrième racine égale à a, ; et l’on voit qu'en général, si z racines deviennent égales à a;, on aura PAS l'intégrale générale

(7) y =enT(A + B'x+Czx +...+ Part) + Cros Ent TH + Cm EME.

57. On peut encore déterminer d'une autre manière l'intégrale générale, lorsque 7 racines &,, &,..., a, ont üne même valeur a. En effet, on ne connaît plus alors immédiatement que m — n +1 intégrales particulières, et ce cas rentre, par conséquent, dans celui qui a été traité dans un des numéros précédents.

Soit Ce“* le terme auquel se réduisent 7 termes de l'équation (3), et généralisons-le en considérant CG comme fonction de x; nous aurons

d"y dC d"C

EN m pAT nè—.1 ax ; z (74 GE LE Ca” ef E ma js ELLE 1, LS ee,

l {C 4 =— Cae* + a ete dx L

ax VARIE Substituant dans l'équation (1), les termes qui renferment C disparaissent en vertu de l'équation (2); ceux qui rendmeliee 4 44 Cher ferment be disparaissent, ainsi que les suivants, jusqu’à

dx" a annule les 7 — 1 premières dérivées de l'équation (2). Il reste donc une équation en C dans laquelle l’ordre le

ceux où entrent

- inclusivement, parce que la racine

plus élevé est m, et le moins élevé est 7. Son intégrale générale feurnirait 21 constantes arbitraires, mais nous n'avons besoin que d’une valeur de C qui en renferme w,

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 89 -et c’est ce que nous aurons en posant

T7 d'où”. CA" BEC.) Plant:

ce qui conduit de nouveau à la formule (7).

98. Si le dernier terme V était fonction de x, on pourrait commencer par le négliger, et l’on intégrerait l’équation (1) comme nous venons de le faire; puis on considérerait les constantes comme des fonctions de x, et l’on obtiendrait la solution complète de l’équation proposée par le procédé indiqué précédemment. Nous ferons obser-

cn.

ps

on

ver seulement que si quelques-unes des racinesa,,...,a, étaient imaginaires ou égales, il serait convenable d’employer l'intégrale de l'équation (1) avec les modifications

: que nous avons indiquées dans ce cas.

: Cette équation peut aussi s'intégrer par la méthode de

: M Cauchy, et nous la choisirons pour donner un exemple de cette méthode, Soit

dy

ae Dance HT + Ur =E(x).

| En négligeant le second membre, l'intégrale générale sera de la forme

| HE ee) d'entre) LE ou etn (xx),

| & étant une constante choisie arbitrairement, et &;, &,..., | a, les racines , que nous supposerons toutes inégales, de l'équation

ADN AT... Ta + U—= 0.

111 faut d’abord déterminer les constantes c1, c2,..., ©, par la condition que pour x — & on ait

dy d m—\ y |

— O0 ,- = — O,...;, dem

on est conduit ainsi aux m1 équations suivantes :

C++ Coke. + Cm — O,

a; C, + 3 Co +. L + AmCm— O,

ai c+a C++... +4, Cm= 0;

m—1 m1 m—1 a Chtra, +... +a, gt € SE

Les équations se résoudront comme on l’a vu précédem: | ment , et, en posant

am + Aamt+..,+Ta+U=/(a),

on irouvera

Ed FE AU (18 MOREL after) F7 f'(a) " f'(an) La valeur précédente de y devient ainsi ent Fa etat RS FIN UE Mn +...

efm® (0 + ——— Fa A F'(am) ( }e

Il faut maintenant intégrer cette expression par rapport à & entre les limites o etx, puis y ajouter l’intégrale gé-| nérale de l’équation |

dy dr

Be 0 et NES

laquelle est, en désignant par &,, @s,..., dm des constantes] arbitraires,

F = QG CNT + en Ho , + Gm EURE.

| L'intégrale générale de l'équation proposée sera donc

1 L Jens Le [ es (ad | +...

eat [ ets F(a) da]