Les équations linéaires de la forme suivante

dry À L'ÉTÉ à N dr y a 2 4 hoegohi Bird SN Pod des AR à dx" Fo ax + b dx” "re ne (ax + b}" dx" —— Z O0 F (az + b}" «

s'intègrent généralement en posant y = (ax + b}*. On

trouve, en substituant, a(æ—1)...(a— m+i)a” + Aa(æ—1)...(a— m+2)at+,, + U—o.

Cette équation donne pour &, m valeurs a, @»,..., 4;

etsi l’on désigne par c:, c,..., ©, des constantes arbitraires , l'intégrale générale sera

J=G(ax + b\a+ c(ax + b\a+.,. 4e, (ax + b)°",

Le cas où l'équation en « aurait des racines imaginaires ou égales se traiterait comme dans les questions précédentes.

60. Lorsque l’on connait l'intégrale générale d’une équation quelconque de l’ordre m

dy dy F 4 > 4 ——— .

(2. PT j 2) st

d dr :

ou, en posant . mr. ar al di à

(1) F2, 7, ÿ',y",..., yim))—0,

92 LIVRE. IV. + on peut former une équation linéaire de l’ordre m, à. coefficients variables, dont l'intégrale générale sera ex » primable immédiatement.

Soit, en effet,

(2) M 0 (x) aRbE ENON

l'intégrale de l'équation (1) renfermant »# constantes @, b,..., 1 Si l’on substitue cette valeur et celles que prennent par suite y’, y”, etc., l'équation (1) deviendra identique, quels que soient x, a, b,..., l. Si donc on la diférentie, après cela, par rapport à l’une des constantes, a par exemple, s résultat sera encore une identité en

æ,a,b,..., 1. On trouvera ainsi | dF dy. dFdy! dF dy" dE dy) n°

he — eee ee = 0 | dy da dy" à dy dy("). da

et cette équation sera identique en x, a, b,:2.,465 si L'Oh remet, au lieu de y et de ses HA. 1 valeurs données par l'équation (2).

| 2 d è : . 1 Posons maintenant — «, il s'ensuivra + LS da dy" = dur, dy Lau dy) a arr da dx da dx” ? da — dr"? 17 puisque x el 4 sont indépendants. à | L'équation (3) devient alors 4) dr Ai dE du s: a! dE, dre 8 4 | — u + = EN INTERESSE D \47 dy dy" dx dy(”) dx" dE dF

Si maintenant on exprime tous les coefficients —,.…, ml À

au moyen de x, a , b,..., l d'après l équation (2), on aura une équation indairé de l’ordre mn à coefficients variables dont on connaitra une intégrale qui ne sera autre chose

‘que REP + Si l’on avait différentié l’équa- | tion (r) par rapport à l’une quelconque des autres conftantes D, ..…., L, on serait arrivé à la même équation (4),

dans laquelle u aurait représenté la dérivée partielle de

p(x, a, b,..., 1) par rapport à ces diverses constantes. On formera donc, de cette manière, m intégrales particu- | lières de l'équation (4), et, en les multipliant par des . constantes arbitraires À, B,...,L, leur somme donnera

| l'intécrale générale de cette équation ; son expression sera S 5 q ; P

| do

Si l’on ne connaissait qu'une intégrale particulière de | l'équation (1) renfermant moins de m# constantes , on en déduirait une intégrale particulière pour l’équation (4) avec un même nombre de constantes.

On remarquera que si l'équation (1) était linéaire, l'équation (4) aurait les mêmes coefficients, et même ne

renfermerait pas de terme indépendant de la fonction w;

elle rentrerait donc dans la première, et l’on ne parviendraït à rien de nouveau.

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