Si l'équation
dy d'y dr eh:
F(r. a De” DE UD ° dr = O
dx?
Lie x KA : dy etait homogène par rapport aux quanuies y, pres .
on pourrait abaisser son ordre d’une unité.
En eflet, en divisant par une puissance convenable de y, on lui donnera la forme
dyi. TX dx PE ë, “ O ‘ dy ! : gr p Vus core ‘9 vd % n posera ensuite dr ia ce qui revient à poser
eftdi, T'en résultera
vÉeas
y sera facteur dans toutes ces dérivées, et l'équation e1dessus deviendra, par ces substitutions, une équation de l’ordre m — : entre x et £.
67. Lorsqu'on donne l’équation d’une courbe, rènfermant l’are s, et qu'on cherche celle qui aurait Leu entre x et y seulement, il faut différentier l’équation donnée, remplacer ds par Vdx? + dy”, et éliminer s entre cette équation et la première; on aura ainsi une équation différentielle entre x et y seulement. Si l'équation donnée peut être résolue par rapport à s, il n’y a aucune élimination à faire après Ja diflérentiauon.
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRPENTIELLES. 99 Soit, par exemple, s°— ay, d’où l’on tire
LE Différentiant, il vient ds I me + " de?
ee == — = 1 “Era dy des Y dy?”?
dx a ——=Â4/——:1 dy LS pa
équation d’une cycloïde rapportée à son sommet, et en-
on tire de là
r [4À gendrée par un cercle dont le rayon est =.
Si l’on donne une équation de la forme
dy CES à () ;
dr ,
on posera
dy (en,
lt d'OÙ ns = {
On obtiendra par la différentiation
ds | dp j re (PA =Vvi+ y :
d'où l’on tire 1/ / gun. Cniidhr
Vr + p:
RFA h' l De Dar — PA (p)ap, Vi + p
Si l'on peut effectuer ces deux quadratures, on obtiendra l'équation entre x et y, en éliminant p entre les deux
équations obtenues. Si l’une de ces deux équations peut ètre résolue par rapport à p, il est inutile de connaître
ua, |
. dy k l’autre, puisque l’on aura la valeur en fonction de x
ou de y, et que, par conséquent, on aura l'équation finie entre x et y par une simple quadrature. Soit par exemple
$S = aarctang —:
5 dx
La différentiation donne l'équation
dr = D us (+ p} et, par suite, apdp dy = (tr + p°)
Cette dernière s'intègre immédiatement, et donne O ,
TEA PAIE d’où (y —c)d En X ANT va Va—(7—c)
el, en intégrant, (æ—c}+(y — cc} — a?
C’est l'équation d’un cercle de rayon a, placé d’une manière quelconque. Pour satisfaire à l’équation donnée, il faudra prendre pour origine des ares l’un des points où la tangente est parallèle à l’axe des x, afin que l’on ait d s — 0 lorsque D —0.
Intégration des équations homogènes par rapport à Loi. AN >: TRE 68. Soit
) Fr; #y, di, A'YTeE00
ne, ”
une équation de ce genre, et dont les termes sont tous finis, ou infiniment petits du même ordre.
Posons
Pur, cn nde,;sidhs À de.
En faisant d’abord ces substitutions dans l’équation (1), y et ses différentielles auront disparu, et tous ses termes seront homogènes par rapport à x et dx. En eflet, ils l’étaient primitivement par rapport à x, dx, y, dy, d°?y, et l’on a substitué à ces trois dernières quantités des expressions homogènes du premier ordre, par rapport à x et dx. Et comme tous les termes doivent être du même ordre infinitésimal, dx disparaît nécessairement, et par suite x. Donc l’équation obtenue sera de la forme
(2) Fu; p; 4)—=0, et donnera q —=q{(?,u).
dx . à FR Or S peut S exprimer de deux manieres au inoven de U F 5 ”
elp, car on a udx + xdu — pdx,
dx du.
L DL p—u
D'une autre part, on a
d è Lx l l 1 — —. et, par suite, SA Us Fee. 15 264 T x x q w(p, uw).
2 Le, At Egalant les deux valeurs de —; il vient VA
(3) du dp = ————) P—u o(p,u)
102 LIVRE 1V. | équation différentielle du premier ordre, qui, intégrée, donnera p=y(«, 6), c désignant une constante arbitraire.
On connaîtra facilement x en fonction de uw , puisque
l’on aura
dc du
æ 7 ÿ(u,c)—u d’où, en désignant par c’ une nouvelle constante arbitraire, et par log y (u, c) l'intégrale du second membre,
