Soit mn l’ordre le plus élevé par rapport à y ‘dans

LA . L2 dr L1 les deux équations. On ürera la valeur de de l'une bp

des équations, et on la reportera dans l’autre, si cette dé= rivée s'y trouve; il n'y aura plus alors dans celle-ci que des ordres inférieurs à » par rapport à y. On en tirera la valeur de la dérivée la plus élevée en z, et l’on aura deux

équations de la forme

Cdi à Le ui ahs. ‘4 d'z (1) Han 1 Lys Ts: …. drm1? Zyese) de | d''z . / dy di Vg mn 4 = 7 PSE 7 »

(2) dx" ME (+, Y ? dx" PT dr | ?

dans lesquelles on am >n',etn<n'oun >n!.

1°. Soit » <[ n/; prenons arbitrairement les valeurs de dy Fee pe Jr ar Los pm POUr © = 0; toutes les dérivées supérieures seront connues pour la même valeur x — 0, au moyen de celles-ci et des équations (1) et (2); de sorte qu’on pourra effectuer le développement dey et: Le nombre des constantes arbitraires qui y entreront est

m + n,et dans le cas actuel, onam+n >m+n.

2°. Soit >> n'; le développement de y exige ioujours

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 111 d z Are Or, depuis l'ordre n', elles devront être tirées de l’équation (2) et de ses dérivées jusqu'à l’ordre n en z; ce qui conduira à l’ordre n#/ + n— n'en y. Or, si l’on avait

7 r . d" mi n—n >> m, l'équation (1) ferait connaître he (47 à

que l'on connaisse les valeurs de z.. - pOur X = 0.

> au

moyen des dérivées d'ordres supérieurs à m, et celles-ci au moyen d’autres plus élevées ; on ne pourrait donc

effectuer le développement de y. On doit donc avoir

m+n >> + n pour que le calcul précédent puisse faire connaître y et z; et dans ce cas le nombre des constantes est encore le:plus grand des deux nombres m + n’ et m + n.

74: Si l'on avait eu m'+n >m+#nl, on aurait au moins l’une des denx inégalités m' >> m, n >> n'; soit par

exemple #7 >> m. On tirerait des équations données les

7 ] d'z valeurs de Jan CLS ON aur ait ainsi mr dy d "z\ d?z dy d?—! 3 TN fes FAN dx"? ‘ Asnt de |?

et les développements seraient possibles, parce que les équations rentrent dans le cas précédent. Le nombre des constanies serait 7! + nr, et serait encore le plus grand des deux nombres #1! + n et m + n’.

15. Supposons maintenant un nombre quelconque d'équations simultanées, qui doivent déterminer, en fonction de x, les variables y, z, u,.... Nous considérerons seulement le cas où l’on peut les concevoir résolues par

| rappori aux coellicients différentiels des ordres respective:

ment les plus élevés par rapport à y, z, u,..., savoir

d'y 1 d'zruiden dx"? dx" dx?

Il est clair qu'au moyen des équations données, qu’on différentiera indéfiniment, il sera suffisant et nécessaire de connaître les valeurs que prennent y, z, u,.…., et leurs dérivées jusqu'aux ordres m—1,n— 1, p—1,.., inclusivement, et dans lesquelles on fera x = 0, poûr pouvoir effectuer le développement de chaque variable par la formule de Maclaurin. Ces constantes sont entièrement arbitraires, et leur nombre est