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76. Laissant de côté maintenant les développements en séries, nous allons chercher à éliminer toutes les fonctions, excepté une, et ramener ainsi la question à l’intégration d’une seule équation différentielle.
Proposons-nous d’abord d'éliminer y entre deux équations dans lesquelles le coefficient différentiel de l’ordre le
; À : d" S d'z plus élevé par rapport à y est Ton €b Par rapport à z, ++ Supposons, en premier lieu, que ces deux expressions entrent dans chaque équation, combinées d'une manière quelconque avec les coefficients différentiels des ordres inférieurs, ainsi que y, z et x. Soient ces équations
p dy dy dz d'z Va 44 RRRE —— 9 Z —9 he — D >) dx dx"? dx dx" S
F, (x act LE Eee LE din Cl : à - 2 ? ?
>) dx dx" dx dx"
dy d'y dz d? )
Si l’on différentie ces deux équations un même nombre de fois quelconque, on introduira autant de nouvelles dé: rivées de y d'ordre supérieur à #1, et un nombre double
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 119 d'équations ; de sorte que, si l’on effectue ainsi 7 différentiations, on aura 2m + 2 équations renfermant y et ses 2m premières dérivées, et l’on pourra en éliminer toutes ces quantités par les règles ordinaires de l'algèbre. Leur système sera ramené à une équation de l'ordre m+n entre z et x, d'où l’on pourra ürer la valeur de z en foncüon de x et de m1 + n constantes arbitraires, et à 27241 équations dans lesquelles on substituera à z et à ses dérivées leurs valeurs, actuellement connues, et elles ne renfermeront plus que y et ses 271 premières dérivées. Éliminant ces dernières, il restera une équation entre y et x et les m+ n constantes arbitraires qui se trouvaient dans z.
Ainsi, en général, les fonctions y et z renfermeront les mêmes constantes arbitraires, en nombre égal à la somme des nombres qui désignent l'ordre le plus élevé des équations par rapport à y et x respectivement.
On agirait d'une manière analogue et l’on arriverait à des conséquences semblables, pour un nombre quelconque de fonctions, avec un nombre égal d'équations.
77. Mais il peut arriver que les coeflicients différentiels de l’ordre le plus élevé n’entrent pas à la fois dans les deux équations.
Supposons que les coefficients différentiels de l’ordre le plus élevé soient, dans la première,
di” : dx" $
et, dans la seconde,
d à d''Z da" dr
On différentiera n° fois la première équation, et m fois la seconde. On aura alors #1+ m'+ 2 équations renfer- II. 8
mant y et ses dérivées jusqu'à l’ordre m + m’. On pourra donc éliminer toutes ces quantités, et il restera une équation entre z et x, dont l’ordre sera le plus grand des deux nombres m+ n',etn/+n; et cet ordre est égal au nombre des constantes qui entreront dans la valeur de z. Substituant à z et à ses dérivées leurs valeurs connues, dans les m + m'+ 1 équations, on en pourra éliminer les nm + m' dérivées de y, et il restera une équation entre y, x et les constantes qui entrent dans z.
18. Considérons, en particulier, le cas de m équations où toutes les dérivées sont du premier ordre, et peuvent en être déduites sans que l’on rencontre aucune incompatibilité ou indétermination ; on aura alors
JO F(x,7,2,...,u),
dz à
ES ==.) 125,)0 Es « GR
du
RE AE FE dé SP à: ‘
et, d’après ce qui précède, les constantes arbitraires seront les valeurs de y, z...., u correspondantes à x =%o: Si l’on différentie la première m — 1 fois et qu'on substitue à chaque fois aux dérivées du premier ordre qui s'introduisent, leurs valeurs tirées des équations données, on obtiendra ainsi :
dy a = F(æ; Y» 7) 0 d?y
6) D = Pie 99 822 0) TE
Et.
INTÉCRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. p15 etiln' y a plus qu'à éliminer les variables z,...,« qui sont au nombre de m — 1. IL en résultera une équation de l’ordre m en y, qui donnera la valeur de cette variable en fonction de x et de m constantes arbitraires. Substituant cette valeur dans les m1 — 1 équations qui, conjointement avec l'équation finale, remplacent le système donné, on en déduira z,..., u en fonction de x et des mêmes constantes arbitraires.
Remarque. — Si les intégrales de ces équations sont mises sous la forme
PR Rs ç SE PA AS UT ne A
Mie dy qu'on les différentie, et qu'on remplace 7 TL Der
leurs valeurs enx,y, z,...,u,les équations qu'on obtiendra entre ces variables seront des identités; car toute équation déduite des intégrales et des données doit être satisfaite par des valeurs arbitraires 5, Zo,..., 46, COrrespondantes à un x arbitraire x.
On a donc, quels que soientx,7,z,...,u,
dy. dy db ga tt 3à F +. — 9 = O DT dy +$ Ds br ‘ et ainsi des autres.
D'où l’on voit que chacune des fonctions Ÿ, d,,..., d,: est une solution de l’équation aux différentielles par-
tielles dv dv d'u PAL MCD A pre TT PA EE PA NL Pre 0,
dans laquelle v désignerait une fonction des variables indépendantes x , y, z,...u.
Cette remarque nous sera très-utile dans l’intégration des équations différentielles partielles.
ni à
79. On peut ramener à ce dernier cas celui dans lequel on suppose que l’on puisse exprimer les dérivées
d'y d"z dPu
dx" è dx? { dxP LES au moyen de celles d'ordre inférieur.
En effet, si l’on pose
4 —2 dy = y’ dy’ Es LU Les à, dy se (m—1) Arr" de june dx Y ik d dz! dz(#-—2) = D = SMS à = a
du nioidu: 7 du(p—?) a Rs on vie te PPS.) Je
les équations proposées donneront les valeurs de
gta) dz(r-1) du(Pr—1) der? dz ? dx
en fonctionde T1", As ia RES
u',...,u®P1), En les joignant aux équations précédentes, on aura un système composé de m + n + p +... équations du premier ordre que l’on intégrera comme dans le
> Us
cas précédent.
80. Nous avons supposé précédemment que les équations données du premier ordre pouvaient être résolues par rapport à toutes les dérivées, qui se trouvaient alors exprimées en fonction des variables elles-mêmes; mais il pourrait en arriver autrement sans que les équations fussent incompatibles.
Si lon conçoit que l’élimination des dérivées se fasse, par exemple, en tirant de l’une des m équations la valeur dy
—- et la reportant dans toutes les (mm — 1) autres ; puis ax
de
| « dz , Sn | ürant + d'une de ces dernières, et la reportant dans les TL
m — 2 autres, et ainsi de suite, on parviendra, en général, à exprimer la dernière dérivée au moyen de x, y, Z,..., et, par suite, toutes les autres. Mais si l’une de ces substüitutions faisait disparaître, dans toutes les équations où on la fait, x dérivées en outre de celles que Von substitue, on aurait un système d'équations dont le nombre surpasserait de 7 celui des dérivées, et l’élimination de celles-ci, en supposant qu'il ne se rencontre pas de nouvelles variables, conduirait à 7 équations entre les variables mêmes x, y, z,... sans constantes arbitraires. On pourrait en tirer les valeurs des x variables dont les dérivées ont disparu, et il resterait m —- n équations différentielles résolues par rapport aux dérivées. Les intégrales du système proposé ne renfermeraient alors que m — n constantes arbitraires.
Soient, pour exemple, les trois équations
AY), !d? du
A SE RS .® dE du
in an de d dz du Z——2——L——= Y
D . 1 d k k à L'élinmination de conduit aux deux équations \ du j ( Y — &) pps rm
(ad: pe L)—— 23 — y.
dx £ Y
He a disparu en même temps que ay et si l’on élimine pie dx Ê DA dx’ | dx
entre ces deux équations, il en résultera une autre entre X,Y, 3 quisera DA 7 te Lx TPE EN ou Y°+ 2 — 2Yz + xz — AY — A —= 0.
‘ du On en pourra tirer zen x et y, et l’on connaîtra 7
d : ad À en fonction de x et y. On rentre ainsi dans le cas pri- N 4 e
mitivement traité, et l’on obtiendra les valeurs de w et y, et, par suite, de z, en fonction de x et de deux constantes
arbitraires.
