Si l’on employait la formule de Taylor, au lieu de

celle de Maclaurin, on obtiendrait l’intégrale générale.

L’équation (1) ferait connaître la valeur de ee en fonc-

: dy dre SUR tion de y, et (2) relatifs à la valeur arbitraire, ; et PTE

d'ÿ s 7. etc., ce qui

ses dérivées successives ferontconnaître (

déterminera le développement de y suivant les puissances de x — x,, renfermant deux constantes arbitraires. Il est facile de yérifier que cette valeur de y coïncide avec celle que donne l’équation (2), en développant celle-ci par rapport aux puissances de x — x,, après l’avoir mise préalablement sous la forme | |

MALE UNELES Lo) Vr + C; cos. (r — x) Vre

© © ne

LE — To 1 + —

ee

90. Intégrons maintenant la mème équation par la méthode des coefficients indéterminés. Soit

V0 Æ” 4; x° + ax LU LR. 5

la série étant ordonnée par rapport aux puissances crois-

santes de x: on en déduit

NY = NRA L® + NAT? + NAGXŸ +. ..,

2 d L—2 6=9 y—2 ET or + 20 6e: —-- 2437 x? = LE x dx d?y De D 6—2

diala -1})x © }-Hax(é — tx dx? 1 ( ) ( )

+ 4:37 (y Sala Or, PAT

La somme des seconds membres de ces équations doit être nulle, quel quésoit x, en vertu de l'équation proposée : ce qui exige que les coefficients des termes de degrés différents soient nuls séparément.

Le plus faible exposant est à — 2; le coefficient du terme total de ce degré donne la condition à (4 + 1} — 0, équation à laquelle on satisfait par 4 — — 1 oua = 0.

1°. Soit & ——1. Le terme ra, x” me pouvant disparaître de lui-même doit se réduire avec d’autres; il faut donc que « ne soit pas inférieur à 6— 2. Si6—2< a. il faudra 6 (6 + 1) — o pour que les termes de degré o— 2 se détruisent, ce qui ne donne que 6 — o, puisque 6 a. Il faudra ensuite que l’on ait

2 &, des 2,5 6 sf s les coefficients donneront les conditions a y(y+1i)+nra =o, aÈ(d+i)+ra+o,....

On tire de ces diverses équations

” CEE | 6 —— DENT À — 9 RE 219 1— 0, 1 —=£ + ï TEL a; 7 ds — 1 dr F2 2 ji NES .., I 1.2.9.4 a 1 a: n° d; — — ? Œe == è

Il y a donc deux constantes indéterminées &,, as, et la valeur de y est

( I nx n°? 2 n° a

72 na ia Aus ÉRYAT 17 UN Cal

nr? is + AU I1— + > » + oh

ou

__ acos,x Vr vashaéé, vr

RE PR RE MEN - Ciencs RC CE 9 T L solution identique avec celle que nous avions déjà trouvée. Nous avons pris 6 —2<a, mais nous aurions pu prendre 6— 2 — x. Dans ce cas, nous aurions trouvé

a; COS Vr

TL

seulement s À — » ce qui n'est qu'une intégrale

particulière. La solution n'aurait été complète qu’en considérant l’hypothèse & — o que nous avons déjà indiquée; et que nous allons examiner.

2°, Soit « — 0. Dans ce cas on ne peut avoir 6—2<[a,; parce que le coefficient de x°? devrait être nul, ce qui donnerait 6 (6+ 1) — 0, équation impossible puisque 6>a.On aura donc6— 2— «, et, par suite, y—2= 6...

Les exposants ont donc les valeurs suivantes : a— 0, 6-20 eh les coefficients seront