Soit maintenant m — 2, et, par suite

d'y l (5) CT, 2 TD up =o;

dx? x dx

on ne conservera que le premier terme de la formule (3),

et, en effectuant l'intégration, on trouvera

__Csnx Vr

T D’après cela, l'équation (2) donnera pour la valeur de "intégrale générale 8 5 Ù Csnx Vr + C cos x V7

On pourrait traiter directement l'équation (5), et poser 1/2 . . . .

y = -; on obtiendrait ainsi

d'u — + AU = O x À d'où u—= Csinx Vr + C, cos x Va, et, par suite, Csinx Vr + C, cos x Vr FL x

97. Ilest un autre cas particulier qui exige un artifice analogue à celui que nous avons plusieurs fois employé dans certains cas de racines égales: c’est celui où l’on a m —1; les deux parties de la formule (3) se réduisent à une seule, et l’on n’a plus qu’une intégrale particulière, bien que la valeur de m tombe entre les limites o et 2. On pourrait bien encore recourir à la formule (2); mais on obtiendra beaucoup plus simplement l'intégrale générale de la manière suivante:

Remplaçons »1 par 1 + 0 dans la seconde partie de y; dans la formule (3); elle devient

27T de Br | cos (x V7 cos w) (sin ®)T do ; 0 +

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 147 or : 2 Æ —1—0lxr+ AT a UE RE ° S R (sinw) = 1— 01.sine + (sm —...; d'où

a (sinw)? = 1 — 9 (1. x + l.sinw) +...;

et la seconde partie de la valeur de y devient, en négligeant les puissances de d supérieures à la première,

T — a, f cos (x V# coso) do

20 | cos (x Vn coso)(l.x + 1. sine) do ;

la première partie de y devient de même

5e \ + # 8 | cos(a Vrcose) dut [| cos (x Vr cosw) 1.sinwde. (U

Ajoutons ces deux expressions et posons B+B,— C, C désignant une constante arbitraire, on aura

T es Ve cf cos (x Vr COS © ) do (a) 2 B—c)s f cos (x Vrcosw) (1. x +1. sinw) do (e) T & + Bd [ cos (x Vr cos w) 1. sin wdo.

Supposons maintenant que d tende vers zéro, et Bo vers une constante arbitraire C; ; on aura pour la valeur complète de y, en passant à la limite, et observant que