LE? AE LAN
Lx +o2l.sino =]. {(xsin wo), neo cos (x V2 cos w) do (e)
NT 0 + Gi cos (x Va cos w) 1. (x sin’ w) de.
Telle est l'intégrale générale de l’équation
6 2 æ ( ) dx? rs xx
98. ILest bon de remarquer que toutes les fois que m1 sera un nombre pair positif ou négatif, l’une des deux parties de la valeur de y donnée par l'équation (3) pourra s’exprimer sans aucun signe d'intégration ; quant à l’autre, elle disparaîtra, vu que m sera en dehors des limites o et 2. Pour le démontrer, désignons, en général, par A, l’in-
TT tégrale définie | cos (À cos w) sin? wdw; l'intégration par (e)
parties donne la relation suivante, en supposant p > 3 :
NN = S ) = 1}(p=3 CES PE
Si p est un nombre pair, on parviendra, au moyen de
TT cette formule de réduction, à À, ou | cos (cos w) do, vo
qui ne peut être obtenu exactement en fonction de À. Si, au contraire, p est impair, À, est ramené à À, et A, qui peuvent être calculés exactement et ont pour valeurs res-
pectives
2, sin À AS À
: ai (sin — } cos À );
d’où il résulte que l’une des deux intégrales particulières qui entrent dans l'équation (3) pourra toujours être CXpri-
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 149 mée en x, sous forme finie, lorsque m sera un nombre
impair positif ou négatif.
99. On peut encore présenter l'intégrale de léquation (1) sous une forme qui est souvent préférable à celles que nous avons considérées jusqu'ici, et particulièrement
| lorsque #7 est un nombre pair positif ou négatif.
Posons H
__ .% € De td 2 È
Y — Ar” o(x) À PRE D x + A,x°* 22 (x)+ hu les constantes «, À, A, A2, etc., étant indéterminées , | ainsi que la fonction (x) dont nous désignons les déri- |
vées successives par g (x), 9” (x), etc. Substituons cette valeur de y dans l’équation (1), et cherchons s’il est possible d'annuler les coefficients des diverses puissances de x, qui seront en évidence.
En différentiant deux fois de suite y, on trouve
d = = mAur*— 26 (x) + mA, (x + 1)2%— I o(x)+mA,(x +2) lex © (x) +...
+ mAXATI p'(x) + mA, 2% 0" (x) +...
d? 3 —Au(a1)x% 2 6 (x) + À, (a + 1)œxtl ol (x) + A(a+2)(a+1) x a (t)+e:.
+oAuz*— lu (x) + 24, (aœ+i)xt gp" (x) +...
Si nous substituons ces développements dans l’équation (1), et que nous égalions à zéro le coefficient du terme
F LA . . L —9 général qui contient x” 7, nous trouverons
[(a+p) (a +p+m— 1) A,+(22+42p+m— 2) Ay-i+Apà] op (x) + nA gt (x) = 0;
et pour que ceite relation entre q (x) et ® (x) soit plus simple et ne dépende pas de p, nous poserons
(a+ p(a+p +m—i)A,+(2a+2p+m — 2) Ap i 0;
HA M" (r)+e..
d’où il résultera (x) + np (x) —=o,
équation à laquelle on satisfera , quel que soit le nombre entier p, en posant
(x) +rp(x)=0, d’où l’on conclut p(x) = Csinx V7 + C’cosx Vr,
C et C’ étant des constantes arbitraïres. Mais ce calcul ne s'applique pas à tous les termes de la série qui résulte de la substitution de la valeur de y dans l'équation (1); il suppose que p soit au moins égal à 2, et il est nécessaire de considérer à part les deux termes qui renferment les puissances &« — 1 et « — 2 de x. En égalant à zéro leurs coefficients respectifs, on obtient
a(æ—1)+ma—o, A;(a+i)(x+ m)+A(m+2a)=0o.
La première donne
@—O, OU xa—I—/N,
et la seconde conduit, dans l’un et l’autre cas, à l’équation A, Sn À.
Examinons successivement les développements correspondants à ces deux valeurs de «.
1°, Soit æ« —1— 1m; la relation générale entre À, et À,,1 devient
En changeant successivement p en p—1, p—2,etc., on déterminera À, en fonction de À,; etcomme À, — —A, on connaîtra le coefficient général À, en fonction de A qui restera indéterminé, mais que l’on pourra prendre égal à l'unité, à cause des constantes GC, C’.
: On trouvera ainsi
A) = — (p—m+i)(p—m)...(3—m) bus;
et la valeur de y aura pour expression
. 1( Sin : 7 : T n Csinxÿr+C' cost Vr—x AMÉLTRRE A E +...
Le gim
(m — 4)...(m—2p) (— zx) d(C sinæVr + C' cosr Ve) (m—3)...(m—p—31) RON: dxP
Lorsque l’on trouvera pour un certain coeflicient À, |, une valeur égale à zéro, la série arrêtée au terme précédent satisfera à l'équation différentielle, et l'intégrale générale sera donnée par un nombre fint de termes. Cela arrivera toutes les fois que m1 sera un nombre pair positif.
Soit maintenant « — 0; la relation entre A,1 et A, devient T1 2 P —— 2
À, es A 1 © P pm + p—1) Cr
d'où l’on tire, en supposant encore À — 1,
a (n + 2) (m + 4).. (2 + T'en (— 1} PO (m+i)(m+2)...(m+p—i) Et. À
et la valeur de y sera
d(Csinx Vr+C' cosx Va)
= C sin x Vr+-C' cos x n—x ra HER (—x) (m+2) (m+4).. (m+2p—2) dP (C sin x Vr+ C' cosx Va) Le 1.2...p (m+a)(m+ 2)... (+ p —1) dx?
Où arrètera cette série, comme la précédente, au terme dont le coefficient sera nul; ce qui arrivera si 2 est un nombre pair négatif. D'où l’on tire cette conséquence 1m-
portante, que l'intégrale générale de l'équation (1) peut toujours s'exprimer par un nombre fini de termes lorsque m est un nombre pair positif ou négatif.
100. Équation de Riccati. — L’équation non linéaire q q que l’on désigne ainsi est la suivante:
+ ay? = ba”.
du
+ + dx . L Si l’on pose, avec Euler, y — —; on obtient, en faisant au
ab =1A,
d?u er se NT gb
et tout se réduit à intégrer cette équation linéaire du second ordre: car la valeur générale de u sera de la forme
u = Cu, + C'u,
C et C’ étant des constantes arbitraires ; 1l en résultera
du par du c’ a.
dx dx dx et, par suite, du, , du; C du, du; Can ANNEES LICE ME FR 4m ; C U, + U
ES Cette valeur de Ÿ renfermant une constante arbitraire C
sera l'intégrale générale de la proposée.
Il reste donc à intégrer l’équation
du dx’
ne DT: VE 8
On peut ramener cette équation à une autre de la forme de l'équation (1), en changeant la variable indépendante
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 153 x, et posant x = kz, À et p étant des constantes indéterminées. On trouve ainsi
2 d'u —!] P IRAN )
D DT — © à oh cie — Ax"u = 0.
À? dz! À dz
Les deux termes extrèmes ne renfermeront plus x si l’on Æ d’ “ Lot mn 2 t { , li . « pose 2p—2—m,doùp—=—+#+1,et quon divise par
x". Si l’on divise, en outre, par et qu'on exprime x
en z, on obtiendra d'u 14 m 1 du A #° pres tt À U = O « dz? m+2 z dz É ) 4 — + I et si, pour simplifier cette équation, on détermine À par
la condition mn
m à id!
D A Peu
on aura à intégrer l'équation suivante :
d'u ‘ru m + 2 du dz? Z dz
qui rentre dans l'équation (1) en y changeant m et » en D
vantes :
et—1;ce qui donne lieu aux conséquences sui-
NS Pr aouun nombre pair positif ou négatif, les 72 2
deux valeurs de uw pourront s'exprimer par un nombre fini de termes en z, et, par suite, en x.
Soit donc
1 étant un nombre entier positif ; on en tire
les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les inférieurs. Cette expression se réduit à la forme suivante: Le he i Toit Ainsi l’équation de Riccati pourra s'intégrer complétement lorsque m sera renfermé dans cette formule.
3 mn . r , DOS + — est compris entre Oo et 2, la valeur géném - 2 rale de u pourra s'exprimer au moyen de la formule (3). e . CR m » e On voit d'abord que si m est positif, ——— est nécessaimn + 2
rement compris entre 0 et 2, et l'équation de Riceati s’intégrera par le moyen de deux intégrales définies simples. Si m est Home soit 7 — — re on aura n!
Pat MAS mo
la première exige m' > 2, et la seconde, m'> 4. Donc on intégrera encore de la mème manière l’équation de Riccati lorsque m sera compris entre — 4 et — oc . Ce n’est donc que pour les valeurs de m» comprises entre 0 et — 4, que l'intégrale cherchée ne pourra s'exprimer au moyen de deux intégrales définies simples.
La formule (3) devient, en y changeant m en PE et
n en —1,
T Er AL:
«8 | cos (z/— 1 cosw) sin o do [e)
m2 ï PT . m+2 + B,z f cos (z V— I cosw )sin o do.
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 155 m : ANA Remplaçant -z par sa valeur - x , , et, posant 1 | mn 2 2 VA À Ad ——— —= y, il vient m + 2 m 2
T — - Yi RE ° M-+2 d à cos | uzx —/!] COS } Sin wo do [0]
Fi — +1 + Be | cos ue Fa. 1 cosw | sin” T?odo.
Si l’on fait disparaître les imaginaires, cette formule devient
T 0 st ss 2 D | mH-2 E— B [ e*T cos QE eT x COS 0) sin 0) do rs. té 3 T tal F CE 2 se, 2» AE .° 1-2 LL B'r À el COS «) ne e [2 T cos w sin o do,
B et B’ étant deux constantes arbitraires: et le rapport ; PP
pr <a la seule constante que renfermera l’intégrale de
équation de Riccati.
Si mn est entre les limites o et — 4, une seule des deux intégrales définies subsiste, et l'intégrale générale sera donnée au moyen de la formule (2). Soit u, la valeur parüculière de u , on trouvera
du, dx 11 I a au dx u° (c: + a Se)
C; étant une constante arbitraire. Cette expression est moins simple que la précédente, mais c’est précisément dans ce même intervalle, entre o et — 4, que se trouvent
156 LIVRE 1V. | ° » EE i comprises les valeurs renfermées dans la formule +, " 2é Et et pour lesquelles on peut intégrer exactement. Si m avait pour valeur la première limite o, l'équation à intégrer serait
qui donne nu — Ce’. + Cet”
Si m a pour valeur la seconde limite — 4, on a à considérer l’équation
sd pis x ,» » . p . ide LA % \ qui a déjà été traitée, et qui, en posant u = -; se réduit à Z
d?e EEE HESO , d’où l’on üre p— Ce’ +'C, «Ts, et, par suite, heGet:t Gif TE
4°. Entre les limites o et — 4, il y a une valeur qui rend les deux intégrales illusoires : c’est m = — 2. Dans d'u Aus dx! x?
elle rentre dans une classe d'équations que nous avons donné le moyen d'intégrer. Son intégrale générale sera u = Cr! + Cix!”, Al et k/ étant les racines de l’équation
kK?— x — À — O.
ce cas, l'équation primitive en « devient
