Soit, par exemple, l'intégrale définie

TT ji cos (x Cosw) do.

Considérons-la comme une fonction de x, et posons

(1) E— j. cos (x COS w) do.

Différentiant deux fois par rapport à x, il vient

dy eut nu sin (Z COS w ) cos w do, d° AR cos{x cos w ) cos’ do.

dx? K

Pour rendre ces expressions plus facilement comparables , il faut introduire cos (x cosw) au lieu de sin (x cos) dans la seconde; et c’est ce que l’on fera en intégrant par parties. On aura ainsi

— sinw SiIN(x COSw) — e [sin cos (x COSw) do. Le premier terme disparaît, aux limites o et 7, et il vient d a 4 D} cos (x cosw) sin’w do.

Divisant par x et ajoutant à la troisième équation, on ob-

tuent

d'y 1 dy :

s pe Ets cos (x COSw ) do. dx? én dx [ tee

L'intégrale cherchée étant ainsi reproduite, il suffira de la remplacer par y pour avoir l’équation différentielle

cherchée, qui sera

d?y 1 dy PASS ==i0:

(2) Han Prtas A

T 105. La détermination de f cos (x cosw) do a été ra- O

menée à l'intégration de l'équation (2), que nous avons traitée dans le n° 97. Mais, comme nous n’en avons développé qu'une intégrale particulière, on ne peut savoir si

ÈS y: HP ' Es ;

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉBENTIELLES. 161 c'est elle qui doit donner la valeur de l’intégrale définie. On voit donc qu’il est, en général, nécessaire de connaître l'intégrale complète de l'équation différentielle à laquelle on est conduit, pour pouvoir en déduire la valeur de lintégrale définie cherchée.

Cependant, dans le cas actuel, il est facile de s’assurer que la série trouvée pour intégrale de l’équation (2) coïn-

T cide avec [ cos(x cos) dw, en donnant une valeur con-

venable à la constante.

En effet, développant cos (x cosw) en série, on a

cos(rcoso) = T— . APRES RER TEE

Multiplions par dé et intégrons entre o et Tr, en observant que

il viendra FT x? L* x k cos (x cos w) do — 7 Are MEET ET Te .

TT Ainsi l'intégrale définie f cos (x coso) do n’est autre [8]

chose que l'intégrale particulière que nous avions trouvée pour l'équation (2), et dans laquelle on suppose la constanie arbitraire égale à Tr.

106. Cherchons maintenant l'équation qui détermine- @ « rait l'intégrale définie sk ere cos 2 nx dx, que nous Q

connaissons déjà.