CHAPITRE XV

DÉTERMINATION DES SÉRIES PAR L'INTÉGRATION D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

109. Nous avons vu comment l'intégrale d’une équation différentielle pouvait être développée en série; mais on peut réciproquement se proposer de trouver l’équation différentielle dont une série donnée serait l’intégrale. Si cette équation peut être intégrée complétement sous forme finie, on saura déterminer la fonction dont on avait le développement. Pour obtenir cette équation, on différentie une ou plusieurs fois la série, ou d’autres séries qu'on en déduit, de manière à reproduire celle que l’on cherche, qu’on peut alors éliminer. Si elle ne se reproduit pas, mais qu'on parvienne à une série qu on sache sommer, on peut encore obtenir l'équation cherchée.