ANSE

cette série étant, au signe près, celle que l’on cherche,

on peut l’éliminer, et l’on obtient l’équation différentielle

Al Ty 4 dx? Futé

Par la théorie des équations linéaires, on trouvera y = A cosx + Bsinx,

À et B étant des constantes à déterminer.

Pour cela on observera que la série conserve la même valeur quand on change le signe de x; donc B — o. De plus, elle se réduit à 1 pour x —o; donc A—7r,et la série est égale à cos x, comme on le savait d’ailleurs.

A1. Soit encore la série

els x? x ne æi Fa M 2 23 US 25 on en déduit dy we: MOI ET a tr pl (rt);

dans ce cas, on est arrivé à une série qui n'est pas identique avec la proposée, mais que l’on a pu sommer. Il faut maintenant intégrer l’équation

l x = — 1 +. (1 +æx), ou Y=—x+/f dx. (1+x), qui donne

y=C—2r+fi+a)l(r+x).

La constante C doit être égale à r, puisque la série se réduit à r pour x— 0; donc

On aurait pu différentier une fois de plus, et l’on auraiteu

d'y dre 6 "= I—LH+HR +, ,. = dr? 1 + x

il aurait fallu alors intégrer l’équation

l'E de a d’où d Pal (r+ x) + : ‘ APTE dy Pour déterminer C, on observera que l’on a —=— I pour x — 0; donc C=—:1,et EE Li! + (1+x).

On aurait continué comme dans le premier calcul. 412. Considérons, en dernier lieu, la série

” æÆ cd

dy p2 x? LA

Pour faire disparaitre le dernier facteur de chaque dénominateur, multiplions les deux membres par +, puis différentions-les, il viendra

d° Y dy 2 x TZ!

DES ES IE 2 RSS dx! dx à ke Te 4°

On a reproduit ainsi la série proposée, et, en l'élimi-

nant, on obtient :

FE pi à dy D 07 7: + AY FI0; ou dy 1 d) dx? + dx BI

Et, en effet, nous avons reconnu précédemment que cette équation différentielle a pour intégrale particulière la série proposée; mais nous ferons observer ici, comme nous l'avons fait pour la détermination des intégrales définies, qu'il est, en général, nécessaire de connaitre l’intégrale complète de l’équation différentielle à laquelle on parvient.