CHAPITRE XVI
APPLICATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A LA. RECHERCHE DE FONCTIONS DONT ON CONNAIT CERTAINES PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES.
113. Soit proposé de trouver une fonction 3 = 9 (x); telle que l’on ait pour toute valeur de x et y,
(1) pr) +e(r)=p(r+r).
Si l’on différentie cette équation par rapport à x, en cons sidérant y comme constant, on à
d’où l’on conclut que (x) est constant, quel que soit x, et que, par conséquent, On à
a désignant une constante. On en déduit (2) z2— ax + b,
b étant une nouvelle constante.
La fonction 9, qui satisfait à l'équation (1), est donc nécessairement comprise dans celles que représente la formule (2). Mais la réciproque n’est pas sûre, et il faut tâcher de déterminer les constantes a et à de manière que la substitution de la valeur trouvée de z rendë l'équation (1) identique. On trouve pour résultat de cette
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 171 . substitution ax + b+ ay + b—a(x +y)+ 0, ce qui exige que l’on ait b — 0, d’où résulte z = ax. La solution la plus générale de la question est donc donnée par la formule
VIT eue, a étant une constante arbitraire.
114. Cherchons maintenant la fonction déterminée par la condition générale
(1) p(z)+o(r)=e(xr) Différentiant par rapport à x, il vient p(z)= 79 (ar).
Différentiant la mème équation (1) par rapport à y, on obtient ? (r)= xp (ar).
De ces deux dernières on üre op (x) = Yv EMI donc le produit xg (x) est constant, et si l’on pose
Q(x) = z, on aura, en désignant par a une constante,
dz s ; æ — = «4, d'où l’on tire dx
adx
dz — tas al xe#l6,
Gi 4
b étant une nouvelle constanie. Substituant dans l'équation (x), on trouve
(2) Malr+b+aly+b=al,.xy +b;
donc k bound 22 4l.a,
a étant arbitraire.
172 LIVRE IV. , Ainsi, la solution la plus générale de la question est. donnée par la formule
v(x)=1los x} )
la base du système de logarithmes étant arbitraire.
115. Proposons-nous maintenant de trouver la fonction o (x) d’après la condition (1) p(x)p(r)= gr +).
En différentiant cette équation par rapport à x et y, où obtient les deux suivantes :
a étant une constante. Si donc on pose ® (x) = z, on aura
z dx
+ LR &ü OÙ
£ ALLER 7 EE bé®r, )
b étant constant. Substituant dans léquation (1), on obtient
(2) betr be — bens+7),
ce qui exige que l’on ait à? = b, et, par suite, b = x, ca on ne saurait prendre b — 0. La fonction cherchée a done pour expression | p(r)= er, a étant arbitraire. & Si la constante à est imaginaire , et detla "fonmé
es
«ME RV—1, on aura o(x)= e" (cos nr E V— 1 sin »x).
