Soit encore proposée la condition

(1) (x) (r) = (xr)

: Différentiant cetie équation par rapport à x et y, on

obtient g(z)e(r)=r7y (ar) p(æ)g (r)=xs (ær).

. Ces deux équations donnent

| re (x}e(r)=rg (x)? (x),

d'où ag (x) 7e 0)

UT / Nine EU à

& étant une constante. On a donc, en faisant ® (x) — z,

x dz CREER on en déduit dz dx | | D — fi — tan CT La du lo Z x? b :

b étant une constante. On aura donc ze He.

Substituant dans l'équation (x), il vient (2) 0 Mt he EU CE 6 18 donc = 7, et la fonction cherchée a pour expression p(æ) =,

& étant une constante arbitraire.

Si l'on suppose « — m + n +1, la fonction prend la

forme p(x)= +" (cos. 1.x HE V—1sin.r»1.x).

117. Nous donnerons pour dernier exemple de ce genre de questions, celle qui se rapporte à la détermination de la résultante de deux forces égales, faisant entre elles un angle quelconque.

On est conduit dans cette recherche par des considérations fort simples, que nous n’indiquerons pas ici, à l’'é-. quation suivante :

(1) pr +r)+o(z— y) =v(x)o(r).

x désigne le demi-angle des deux forces, et o(x) le rapport de la résultante à l’une d’elles. Or, si l’angle des forces est nul, la résultante est égale à leur somme; et s’il est égal à deux angles droits, elle est nulle : on devra donc avoir les conditions particulières suivantes, en désignant o (x) par) 2°:

2 pour T—o,

T AE 20 © | pour TL = —)

et, de plus, z ne peut devenir nul pour aucune valeur de x comprise entre o et On observera d’ailleurs que la question de statique n'impose aucune condition à la fonction pour des valeurs de x non comprises entre o et À

et pour des valeurs de y plus grandes que +. On peut reconnaître facilement que la première des équations (2) est une conséquence immédiate de l’équation ( 1); car, si l'on y fait y — 0, on trouve |

2?(æ) = o(x)p(o) d’où résulte

INTEGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 159 Cela posé, en diflérentiant deux fois l'équation (1) par rapport à x, et deux fois par rapport à y, on obtient g'(r+r)+og (x—7r)=v(x)o{r), PAT+J)+p(r—r)—=p(z)?" (y);

d’où l’on conclut

a étant une constante réelle, puisque o (x) et (x) le sont.

Cette équation devient, en remplaçant o (x) par z,

d?z (3) NT A A

L'intégrale de cette équation aura une forme différente, suivant que l’on aura

NO, BG 20 SN aT 0:

1°, Soit d’abord a — 0; il en résulte z2=Crx+çC, et, substituant dans l'équation (r), on devrait avoir, pour une infinité de valeurs de x et y, 2Cx + 20 = Cxy + CG y + CGix + C°:

les termes semblables devraient donc être égaux de part et d'autre, d’où résulterait C = 0, et o (x) scrait égal à une constante, ce qui est impossible ; donc on ne peut avoir d—= 0.

2°, Soit a => 0; l'intégrale générale de l'équation (3) sera z — Cer"e +- Ce" "a:

substituant dans l'équation (r), et posant

etz+r) Va — u, et) Va — v,

ce qui n’établit aucune haison entre u et », on trouve C(C—1)u + CG(C—i)u = C(i — C)o + Gi — C)ot,

Les coeflicients des termes dissemblables devant être nuls séparément, on aura

Co, Gen Ou

Or on ne peut avoir à la fois C— 0, C; = o, sans quoi l’on aurait z— 0, quel que fût x, ce qui est absurde. Donc on ne peut prendre que les valeurs suivantes :

CSN Or d’où il suivrait z — et Va + e Va, :

expression qui ne deviendrait pas nulle pour x — = » et

qui, par conséquent, ne satisfait pas à la question. Donc on ne peut avoir & > o.

3°. Supposons enfin a <7 e et posons

A = — mm; l'intégrale complète de l'équation (3) sera z = Ccosmx + C, sin mx,

et puisque l’on doit avoir z — 2 pour x = 0, il en résulte C — 2, et la valeur de z sera

z —= 2 cCosmx + C, sinmx;

en la substituant dans l'équation (1}, et réduisant, on trouve

C° sin x sin my + 2C, sin my cos mx = 0,

et comme on ne saurait avoir M = 0, on peut supprimer

* Je facteur sin my, et il reste

C? sin x + 20, cos mx — 0, équation qui ne peut être satisfaite, quel qêe soit x, qu’en

posant C, = O0 h

d’où résulte 3 —="2 COS NX.

La constante m se déterminera au moyen de la seconde équation (2), qui donnera nT

d’où

m pr 2 —- 1,

R étant un nombre entier quelconque. Maïs si l’on n’2vait pas 2 — 0, cosmx deviendrait nul pour la valeur

T . or T : ‘ L—= ————— ) qui est moindre que —; ce qui ne saurait 2(2R2<+ 1) 2 ù

être, puisque la fonction z ne peut devenir nulle pour

T "a valeur de x entre o et | Donc, enfin,

Zz —= 2 CO0OSZ,

et la valeur de la fonction cherchée est

p(x) 12. COS 2:

RO MAS LIVERANVS

« CHAPITRE XVIL.

DIGRESSION SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS où USAGES DES INTÉGRALES DÉFINIES.

In tégra les Eulériennes.

118. Legendre à désigné de cette manière deux espèces” d'intégrales définies, étudiées avec beaucoup de soin. d’a- 8 : P ; bord par Euler, et ensuite par Legendre lui-même: nous Ï ) P ; nous bornerons à à en faire connaître les principales propriétés. Celles de la première espèce sont comprises dans :

la formule a LE Vo (1 x) dx; 0 "6

celles de la seconde sont de la forme LARG +: 14 1 PT { I a—\ . : :

f (15) PR MEN D

a étant positif, sans quoi l'intégrale serait infinie. : |

À I Si l’on pose I. = =J) on lui donne la forme

(we) [ VISE DEN [e]

Legendre désigne les premières par le symbole (p, (2E et les ondes par L(a); de sorte que l’on a |

ae fesse, 0 j

l I a—1 ee] EVa) = |. — dx = |" ze dr.

(e) ne fe]

Nous avons déjà eu occasion de parler de ces dernières . dans le cours de première année, et nous avons démontré

“que si a est entier, On ‘a

et que, quelque valeur positive qu'ait m , on a

F 100 Ta) a Le x = ——.

a mi

119. On reconnaît immédiatement une propriété trèssimple des intégrales de première espèce, et qui consiste

en ce que leur valeur né change pas, quand on change

lune dans l’autre les deux lettres p et g. En effet, si l’on fait la somme des deux éléments de l’intégrale, corres-

.pondants à deux valeurs de x dont là somme soit égale à x, elle reste évidemment la mème quand on change p

en g, et réciproquement, puisque cela ne fait que changer

les deux éléments l’un dans l’autre. Donc l'intégrale entre

les limites o et 1 reste la mème quand on change lune dans l’autre les deux lettres p et q; propriété qui s’expri-

mera de la manière suivante :

(P,4)=(4 pb).

190. Démontrons maintenant une des principales pro- | priétés des fonctions de seconde espèce, dont l'étude doit être faite en même temps que cellès de première,

Considérons l'intégrale

I L @ | | L (.:) dx =T(a + 1); o EN Wa x

1 integration par parues donne

; INDE (Li) f Ms) dr, L Tæ T }

et, prenant les limites o et à,

I a J f (.:) de=a | (2 O0 T O "T7

ce qui donne la relation suivante

T(a+i)=ar(a).

Au moyen de cette relation, il suffira de connaître la fonction L(a) pour toutes les valeurs de a comprises entre” oet 1, pour en déduire celles qui se rapportent aux va=" « leurs de a comprises entre r et 2. De celles-c1 on passera aux valeurs de a, compriées entre 2 et 3, et ainsi de suite | indéfiniment. | * La construction: d’une Table qui donnerait toutes les 4 î valeurs possibles de la fonction F se réduit donc à la con=

sidération des valeurs de a comprises entre o et 1. L Nous allons voir qu’il suffit même de connaître les vas

leurs de F (a) dans l'intervalle de a —0 à a = #

D'après ce qui a été dit précédemment, on a l'équation

Fe e20+42) dz — r(d) , Ÿ

b étant positif. Muluplions les deux nembres par x*T! dx, a étant posiif et plus petit que b, et intégrons-les par - rapport à x entre o et l'infini, nous aurons

Ce) * À co. 247! * 4 4 2 tal es e—2t dz dx = T b F FE NS 1 FO o -(1+&) LE:

intégrons d’abord par rapport à x, et observons que