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INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELPES. 191. une valeur de x qui rend F{x) discontinue, la série donne la demi-somme des valeurs de F(x) qui correspondent à cette même valeur de x. |

#49. Nous atons supposé que la différence des limites a, b était tout au plus égale à 27. Voyons ce qui arriverait si cette diflérence était plus grande que 27, et que la fonction F(x) füt donnée arbitrairement dans cette

étendue : supposons, pour fixer les idées, que l’on ait

b— a — 27 + 0, d étant plus petit que 27. Pour toute

, x . I valeur de x comprise entre a et a+, sin =(a—x)

| De era nul pour & =x et pour. œ— 27 Lx: on aura donc à considérer Lans l'intégrale 1 les valeurs de «

dans le voisinage de x et de 27+ x, et, par conséquent, on trouvera pour valeur de cette ‘intégrale relative à ces valeurs de x,

DU s{F(<) + (x War);

de même pour toute valeur de æ-comprise entre b — 9 et b, on trouverait pour valeur de l'intégrale,

APE Plr-oell

Pour les autres valeurs de x comprises entre a et b, l’intégrale aurait simplement pour valeur F{x). On voit ce Qui arriverait si b— a renfermait un nombre quelconque dé fois 27, et que la fonction F {«) füt donnée dans toute cette étendue. Ce n’est donc qu’en prenant 27 pour différence des limites de l'intégration, que la série représentera la fonction elle-même F (x) pour toute valeur de x comprise entire ces limites. Dans tous les cas, la fonction représentée par la série aurait pour période 27.

Si [a fonction F (+) est périodique, que 27 soit l’éten-

due de la période, et que b — a soit un multiple de 2r, la série représentera évidemment rF (x), multiplié par le nombre de fois que b — a contient 27; en divisant donc par ce nombre, on aurait encore TF (x) comme si l’on avait intégré entre a et a+ 2m.