Si l’on avait , au contraire, (—x)=—9(x

il en résulterait

+ ra J p(a) cos m D HE: 0%.

pare : Ta, ù T y(x) sin y da =?2 p(a)sinm—da;

| la formule (3) se réduirait à celle-ci

’ l Re FE ; T & (171) p(r}=T > SP E ; p{a) sin m 7 de, et la formule (6) à la suivante

2 1 ke N (12) y(a)= D sinme | p(a)sinmada.

æÆ 0 6

E Temp les divers.

134. Proposons-nous d’abord de développer en série ‘trigonométrique une fonction qui est égale à une constante entre x — 0, x — [, et à la même constante chan sée de signe, entre x—=0, x = — [, Il suffira évidem=

ment de prendre cette constante égale à l’unité, et l'on

INTÉGRATION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 109 » passera ensuite à toute autre valeur par une simple multiplieation.

Nous supposerons donc o (x) — 1 dans la formule (tr), et nous aurons

2 MrX 4 T @ 2 I—COSMT . rx ES — ÿ sin SIN — da = — D sin RTE { PA : l Tr m l

Or, pour m pair, 1— COsMmT—0; el pour m2 impair,

1— cos mr = 2; d'où l’on conclut

é, mi SUR an Laaeri À — n —— = Si Se = SIN — AR ETS Ro 1 2 RAC eng

ce qui est la formule demandée. La fonction indéfinie est périodique , et l'amplitude de la période est 2 2.

435. Développons maintenant la fonction qui serait égale à x entre les limites — Z'et + Z.

Comme on a alors o(—x)——o(x), il faut faire usage de la formule (11), et l’on trouvera

(a): Fe >, some f° asinm— de,

ou, en effectuant l'intégration,

æ cts Ed à — sin 2 - sr re SR — Fer sin jte | CE — IN — — — SES in — S San ct ee .

a 15,58 He FR

Mais si l’on voulait que la fonction füt égale à x, entre o et/,età —æentreo et — /, on aurait p(— x) —o(x), et 1l faudrait employer la formule (9). On aurait alors

I 2, TL Tr & > & LEON coS 7 — d œ 7 f «e+° >. cos j £ œ m j a,

ce”

ou , en effectuani les intégrations,

| u 41 TL HERAERE SARA x I TX KT— £ — ur (eos DE + 2 0083 + à 6055 7° + 7097 ru +).

Ces deux formules (a), (b) représentent la même va" |

leur x entre o et /, maïs elles ont des valeurs égales et de

signes contraires entre o et — / : elles ont d’ailleurs l’une

ét l’autre 2 l'pour psrioG es

On voit par là que les lieux dont ces développements.

seraient les ordonnées auraient des parties de longueur

finie qui coïncideraient, et d’autres parties qui seraient

différentes pour l’un et l’autre.