à Y=- J dp cospr e cospada

o 0 Or (ee — % ë ; e cos pa da ="; ; 0 1+p T4

on aura donc

“#72 "© cos prdp | RS TE ST |

Et, en effet, nous avons déjà eu occasion de reconnaître que cetie expression est équivalente à e* quand x est positif, et à e* quand x est négatif.

140. Terminons ces exemples par le cas d’une fonction qui soit égale à l’unité pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et + 1, et nulle pour toute autre valeur de x.

On a, dans ce cas, p (—x)= 6 (x), et l'on aura recours à la formule (16).

Or, la fonction étant nulle depuis x=1 jusqu'à x, l'intégration donnera zéro dans toute cette étendue, et, par conséquent, il suffit de la considérer entre les limiteso

“ h INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES,. 201

el 1 ; ce qui donnera j

je ef, ap cos pa | cos paida; Jo à

el comme on a I sin P cos pa de == , 0 P

à fe Sin P COS px T=—- ————— dp ; 0 PF

on en conclura

et l’on a ainsi une expression qui est égale à 1 pour toute valeur de x entre — r et + 1, et égale à zéro pour toute valeur de x en dehors de ces limites. Il est d’ailleurs facile d'en faire la vérification. En effet, on a

d P Or, si l’on ax > 1, les deux intégrales qui entrent dans : P s :

le second membre sont égales à pe les deux termes se

détruisent. Ils se détruisent de même si x << — 1 ; ce qui prouve d'abord que l'intégrale en question est nulle pour toute valeur de x qui est en dehors des limites —1 et +r.

Si maintenant x est entre — 1 et +1 , les deux termes

9 L Te \ 4 s ajoutent et donnent pour somme D d’où résulte y = 1;

ce qu'il fallait vérifier.