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et son expression renfermera ——; ainsi que sa dérivée pan

INTÉCGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIFLLES. 203 $ Ts, x 4 d" z : rapport à y. Mais si l’on remet, au lieu de Fon SA valeur tirée de (1}, on n'aura plus de dérivée qui dépasse l’ordre m— 1 par rapport à x. En continuant ainsi indéfiniment, on aura toutes les dérivées partielles par rapport At: depuis la m°%"° jusqu'à l'infini, exprimées au Pan dz Ep

LÉ MMErreES de leurs dérivées par rapport ày seulement.

Il s’agit maintenant d’ obtenir les valeurs de toutes les dérivées par rapport à x, quand on y faitx — 0, ce qui les rend fonctions de y seulement. Pour cela, on observera | qu'en faisant x — o dans une fonction de x et y, et différentiant par rapport à y, on a le même résultat qu’en dif-

Er y ;

j JAP Z Rutient d’abord, puis faisant x — 0; ainsi dx? dy1 dy?

dP z\ a), dans lequel on fait x — 0, est identique avec — | À à

n désig t de edevié Ca: d fai e ignant par | ce quedevient-— quand on y fait

%— 0. Il suit de là que toutes les dérivées de z par rapport à x, dans lesquelles on fera x — 0, se déduisent de z et des m—1 premieres, et des dérivées que donnent ces m fonctions de y par rapport à y. D'ailleurs, l’équation proposée laisse arbitraires ces 12 fonctions, et ne détermine queles suivantes. On pourra donc effectuer le développement de z par rapport à x comme il suit :