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EDR Y,Y,,..., Y,: étant des fonctions entièrement arbitraires de y. Et l’on pourrait démontrer à posteriori, comme dans le cas des équations différentielles, que ce dévelop-

204 ÿ LIVRE IV.

SUP SES À . “484 pement donne identiquement la même valeur pour = É dx".

que l'équation (1).

142. Si au lieu de deux variables indépendantes, on & avait un nombre 7 quelconque, on pourraittoujours sup-M poser la fonction développée par rapport aux puissances dis x; iln'y aurait de différence qu'en ceque Y, Y1,..., Y, M désigneraient des fonctions arbitraires de toutes les var bles indépendantes, excepté x.

143. Réciproquement , on sera assuré d’avoir lint« tégrale générale d’une équation comme celle que nous considérons, lorsque la fonction et ses m1— 1 premières, dérivées par rapport à x, dans lesquelles on fera x =—=0;f pourront être égalées à des fonctions entièrement arbr* traires de toutes:les variables indépendantes, excepté 4 car, puisque l’intégrale donnée satisfait à l'équation pro-4 posée, tous les termes de son développement, à partis du mn", se déduisent des »: premiers, de la même mas nière que dans le développement de l’intégrale générale: Or ces mn premiers sont identiques dans les deux développements; donc tous les autres le sont, et la fonctions donnée ne diffère pas de l’intégrale générale. X

444. Nous avons supposé l'équation du #n°"° ordre complète ; mais il suffit évidemment, pour que nos raison: nements subsistent, qu'en la résolvant par rapport a coefficient différentiel de l’ordre le plus élevé de la fonction, pris par rapport à une variable seulement, il n'entre! dans son expression aucune quantité où il se trouveun nombre aussi grand de différentiauons par rapport àMk même variable. Dans le cas particulier où cette cireômstance ne se présenterait relativement à aucune des v& riables, le développement ne pourrait plus se faire-desla

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES,. 205 ‘mème manière, et nous nous écarterions de l’objet de ce | cours en nous en occupant d’une manière générale.

145. Si les coefficients différentiels les plus élevés par rapport à x et y ne sont pas du même ordre, le développement ne renfermera pas le même nombre de fonctions arbitraires, si on l’ordonne successivement par rapport à des variables différentes; mais ces fonctions ne renferment pas les mèmes variables, et tous ces développements sont au fond identiques, puisqu ils représentent tous la fonction la plus générale qui satisfasse à la même équation.

146. Lorsqu'il n'entre que des dérivées prises par rapport à une des variables, on regardera toutes les autres comme. des constantes, ei l'on aura à intégrer une équation différentielle à deux variables. Les constantes introduites par cette intégration seront considérées comme des fonctions arbitraires des variables que l’on avait regardées comme constantes.

Soit, par exemple, de PTIT

on aura 2=Y+Yi rt... Yi Lo(x, y),

(x.y) étant la fonction que l’on obtiendra en intégrantn fois F (x, y ) par rapport à x, et Y,...,Y,,; étant des fonctions arbitraires de y.