Appliquons la formule de Maclaurin à lité

tion de l'équation ré AnpiE : ." dz dz ER | dx dy |

dz d'z d'z dx d' x de — dx dy te dy + dy? # d'Z ; d z 4 dx dy Fr on 2 ds

dzy d'air OR REP le a

d e Fe, Ÿ TRE Jym y di ee à APS LL D dre 7

Ole second membre représente le développement de Ha fonction de y représentée par z,, et dans laquelle on change y en y + ax. Comine d’ailleurs z, est une foncion arbitraire F (7), on aura, pour l'intégrale cherchée, | 32=E (y + ax), On trouve ainsi une fonction arbitraire renfermant deux wariables, mais d’une manière déterminée; ce n’est done pas une fonction arbitraire par rapport aux deux variables.

Équations linéaires aux différentielles partielles.

-149. Lorsque l'équation linéaire ne renferme pas de terme indépendant de z et de ses dérivées, il est facile de voir que la somme d’un nombre quelconque d’intégrales particulières satisfait encore à la même équation.

Lorsque, de plus, les coefficients sont constants, on y satisfait par des expressions analogues à celles que l’on a trouvées dans les équations différentielles.

Si l’on considère , par exemple, une équation de l’ordre m, renfermant la fonction z et ses dérivées par rapport à xety, multipliées par des constantes, on pourra poser z = Ce**+7; l’exponentielle disparaîtra, ainsi que C, par la substitution dans l'équation donnée , et il restera une équation du m°"° degré entre & et 6. Elle ‘pourra donner m valeurs de 6 en fonction de «; si l'on en désigne une par g{«), on aura une solution de l'équation,

- en posant

et renfermera une fonction arbitraine: ER L. $