CHAPITRE XXL

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PARTIELLÉS LINÉAIRES, PAR LE MOYEN DES INTÉGRALES DÉFINIES,

152. Nous avons dit tout à l'heure comment, en partant d’intégrales particulières, on pouvait en obtenir de plus générales, renfermant des fonctions arbitraires, et exprimées par des intégrales prises par rapport à des variables différentes de celles qui entrent dans l’équation proposée. Le choix que l’on doit faire pour la forme des intégrales particulières doit être tel, que les fonctions arbitraires que l’on aura introduites puissent se déterminer facilement au moyen des données; et ces données sont ordinairement les valeurs que reçoivent la variable principale et quelques-unes de ses dérivées par rapport à une des variables indépendantes, lorsque l’on donne à cette dernière une valeur particulière.

Considérons, comme premier exemple, l'équation

E (gzk. (n d22 (1) me = a dy ,

qui détermine le mouvement dela chaleur dans une barre

prismatique , dont la surface latérale est imperméable, La question sera entièrement déterminée, d’après ce

que nous avons vu, si l’on connait la valeur de z relative

à x — o. Soit donc donné

(2) pl (Your 2 —= 0

On satisfera à l'équation (1) en prenant

= 6 "COS mnY;

FI: à LIVRE IV.

pourvu que n = — a°m°. On peutmêème, au lieu de Ve mettre y —@, puis multiplier par une constante arbitraire À , ce qui donnera la valeur particulière

z— Ac Ÿ"tcosm(y — a).

Faisons croître les constantes arbitraires m# et & par degrés infiniment petits dm, da, et supposons que A soit de la forme fa) dadm,

f désignant une fonction arbitraire; la somme d’un nombre quelconque de ces solutions infiniment petites sera encore une solution. On aura done une valeur plus générale de z en prenant

= | frtaiersenm(s — a) dm da,

les limites des deux intégrales étant arbitraires. Or cette valeur de z se réduit, pour x = 0, à

fac (r — «) dm da.

Donc, si l’on prend —@ et +c pour limites de ces intégrales, on trouvera pour résultat 2 rf(7); ce qui détermine f(y}, puisque, d’après la condition donnée, on devra avoir »

2rf(Y)=E(r).

La valeur de z, qui satisfait à l'équation (r) et à la condiuon (2), sera donc

; 41° CO 2= — | [ F(a)e-#%##cosm(y — «) dmdu,

et toute valeur de z qui satisferait à ces deux équations serait identique avec celle-ci, sous quelque forme qu'elle se présentàt. Îl ne reste plus qu'à chercher si l'expression peut être simplifiée,

Or on a la formule

p° ae +) Vr PL Ta cr: op TU 4 ERA, ? Æ e COS 2 pu AU — c ; Mc 72 d’où il suit KG T ax d EURE COS (y —= a) PERS re te ?

: 2 a Vx

et, par suite,

se D J e \2aVr)/ F(x)da,

PRE Vr Vx — D

expression qui ne renferme plus qu'une intégrale définie simple.

On peut lui donner une forme plus commode en posant

ps FAR 2 — | — 8, d'où :a=y2a6Vx, Te

et dæ—+a Vz «dé.

Si l’on prend les signes supérieurs, les limites de 6 seront les mêmes que celles de &, et l'on aura

we)

(3) ” 2 | eéF(r + 2 a6 Vx) de.

Si l’on prenait les signes inférieurs, les limites seraient renversées, et, en les remettant dans le même ordre, on trouverait pour valeur de z,

I = \ | Er MRUr— 246 x) d6, Vr + D

qui ne diffère pas de la précédente, vu que 6 passe par

RES A : N lt € PT toutes les valeurs positives et négatives, .et que * ne change pas quand 6 change de signe.

La solution générale de la question est donc donnée par

équation (3). #, 4: