Intégrons maintenant l'équation

dy xt () APCE rt (EE

que nous avons déjà traitée par une autre méthode, et

qui se rapporte au problème des cordes vibrantes. Ajou-

tons-y les deux conditions suivantes, pour déterminer . les foncuons arbitraires

(2) » =T (x) dy pour = 0. i 3 = Te 5e ( ) dt TI ) On satisfera à l'équation (1) en prenant Due y = À cos ant cosm (7 — 4), J

» A, m, œétant des constantes arbitraires. On aura une s0-

are plus générale, en supposant À = o{«) dm da, et intégrant par rapport à à et m entre — © et+®, o pre ) désignant une fonction arbitraire. On aura ainsi

LS D ss æ) cos amt cos m(x — x) dm du.

Cette expression se réduit à 270 (x) pour £ — 0. Done, si

» on trouvera F (x) pour t = 0;

Pon prend o(x) —

d’où l’on voit que l'expression

(4) =. fre ) cosamt cosm (x — x) dm da,

ae à : À l satisfait aux équations (1) et (2); mais elle donne Z 0

pour £— 0, et, par conséquent, ne satisfait pas à la condition (3). Il reste donc à trouver une valeur de y qui satisfasse aux équations (1), (3), et devienne nulle pour t — 0; en l’ajoutant à celle que donne l'équation (3), on aura une valeur de y qui satisfera à toutes les conditions.

On remarquera d’abord que si une fonction y satisfait

D PA ya à l'équation (1), les fonctions . : .

> etc., y satisferont

éoal t, ainsi que dt lors Br A 1 également, ainsi qt ; 14 que — est nul pour

Si donc on intègre par rapport à £ l'expression (4) et qu'on y remplace la fonction F (2 «) par f(x), on aura une solution de l'équation (1) qui, diflérentiée par rapport à £, se réduira à f(x) pour t— 0, et qui, de plus, nd nulle Eee t = 0. On obtient Re expression

fu ami DRE CPE 7 (æ — a)dmde,

216 LIVRE IV. dar:

qu'on peut d'ailleurs vérifier facilement. La valeur de y qui satisfait aux équations (1), (2), (3), et qui est la seule

qui puisse y satisfaire, est donc 4

TE Sn ) cosamt cos m (x — a) PS à

) ut amt ni” “4 NOR se cosm(z—a)dmda. M4 2r a "4

Cherchons maintenant si ces intégrales doubles sont réductibles, et considérons d’abord la première. On peut remplacer cosamt cosm (x — «) par # k

cos m(x + at — x) +cosm(x— at— a) ST PR PO OR EEE

et la partie que nous considérons du second membre de à l'équation (5) deviendra {

Er EL fr (a) [cos m(x+at—a)+cosm(x—at—a)\dm da, T

ou F(x+at)+F(x— at) Passons à la seconde partie, et remplacons-y | sinamt cosm(x — a) par

sinmn(x+at—a)—sinm(x —at— a)

elle deviendra alors

[ Fire At LU —

ARR ape) PURES 2 dm de m mn

Oron sait que, quelque valeur qu'ait p, l’intégrale

oc. fe 0 | & f Rd SA dm , “est égale à 7 lorsque p est positif, à — 7 lorsque p est négatif.

Donc l'expression (6) sera nulle toutes les fois que | % + al — à et x — at — « seront de même signe; et par conséquent, il suffit de considérer les valeurs de « qui donnent à ces deux quantités des signes différents. Ces valeurs seront déterminées par les inégalités

THat—é>0, x—at— ao,

si {est positif; et par ÿ . ZH+at—a<0, x—at—x >0,

si £ est négatif. Les premières donnent aDx—at, a x+at; les dernières donnent a>Drx+at, a x — at.

Il suffira donc que l'intégration par rapport à & soit faite entre les limites + — at, x + at.

S1>0,x<+at— a sera positif, et l’on aura

(ve) .

sinm(x+at— a) 7-00

m l'e: . » » e « l'expression (6) se réduira alors à

” x+-at

ETES f{ejda.

Pr, Lea |

Lt

Si t<T 0, X + at — à sera négatif ; on aura se 0x

doi 1.3 f sinm(x—+at— a) a ———— dm = —7, r He m et l'expression (6) deviendra EL!

. SE X—at S Si fa) da, & X+-at : de $

ce qui coïncide avec (7), qu'il suffit alors de considérer.

Désignons fre dx par (x), Pexpression (9).de-

viendra 6 ŸY(x+at)—4%(x — at) e.

2 a ? | et la formule (5) se réduit à la suivante: . 4

NO et a a ame à V(x+at)—4(x— at) 2 2 A

Elle coïncide alors avec celle que nous avions trouvée précédemment par un procédé plus simple. Mais nous avons cru qu'il pouvait être bon de l'obtenir par ceue nouvelle voie, non-seulement pour faire une application de la méthode des intégrales définies, maïs parce que la réduction que nous avons faite des intégrales doubles offre des particularités qu’on rencontre dans d’autres cir= constances moins simples, où elles pourraient arrêter ceux qui ne seraient pas encore habitués à ce genre d’a= nalyse. j: