Soit encore l’équation

By d'y (1) pr ÈUE dx‘ ON

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES,. 219 | qui exprime le mouvement vibratoire d’une lame élastique.

* Ajoutons-y les deux conditions

, dy ) pour {= O0, 3 = f(x

(3) DE f(x)

1 question sera entierement déterminée, et ne pourra | avoir qu'une seule solution. |

On essayera d’abord de satisfaire à l’équation (1) par une valeur simple de la forme

* Y = cos/nt COS n (x — a),

et l'on trouvera qu’il suffi pour cela que l'on ait MES

. on aura ainsi la valeur particulière

Y = Acosn'tcosn(x — a),

À; n, « étant des constantes arbitraires.

| Supposant encore, À —o{(x) da dn, et intégrant par rapport à 72 et «, entre — © et + ©, on aura une solution plus générale de l'équation (1), exprimée par la formule { (ee) 20 T = [ p(æ)cosn’tcosn(x — x) dn da.

e — L © — Si l’on y fait : — 0, elle se réduit à 2 xo (x); et, par conséquent , on satisferail à la condition (2) en prenant

Ainsi l'expression

Lee) ee) ï (4) = — [ F(a)cosn’tcosn (x — a)dn de, 2/9 — «

Ed DR { ! |

220 y LIVRE IV.

Fee : : dy r satisfait aux équations (1), (2), et donne — © pour

— 0. Ïl suffit donc de trouver une nouvelle valeur de (y qui satisfasse aux équations (1), (3), et se réduise à zéro pour &t—0, en l’ajoutant à celle que donne l'équation (4 on aura la solution cherchée. Or, si l’on intègre par rai port à t, entre les limites o et t, une valeur de y sati

faisant à l’équat et telle que = — 0 pour t — équation (1), et telle que 7 P

le résultat y satisfera encore. Si donc on intègre l’expression (4) par rapport à t, en remplaçant F par f, on aura une solution de l'équation (1), qui, diflérentiée par rapport à £ deviendra f(& :) pour t = 0, et satisfera, par conséquent, à la condition (3). De nus cette ed dey deviendra nulle pour { — o , puisque lintégralé est prise à partir de t — 0; donc, en l’ajoutant à celle que donne l'équation (4), on aura à solution de la question propo- | sée; on obtient ainsi

co D’ :

=£ f Ÿ F{a) cosn't cosn (x — «)dn da D RSS Lo :

nn fe JS (a) — cos ñ(x — #) nds.

Fa A © —

La première partie de cette solution peut être mise sous une forme plus simple en effectuant l'intégration PA rapport à 7.

En effet, nous avons fait connaître la formule