LE T
f cosz?cos 26zdz— 4 / —(cos6? +sin6?);
posant z = n ÿt,6= “on conclura de l'équation
2 Vt
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Son précédente | [ cos n°# cos 2 (x— a) dn | “pl
rl
un partie de la valeur de y, qui donne la solu-
ion complète de la question, toutes les fois que l’on doit P q ; q
aWOir—- — 0 pour { — 0, prend ainsi la forme suivante :
= = [À (| cos LÉ ae ENS otrs à da:
”s Hs Er 2 Ve
— 6, d'où da — 2 dé,
ou, en posant “
ST (ee)
I (cos 6? + sin 6)F (x + 26 Vt) d6.
Ce)
Var
156. Nous allons encore faire connaitre l'intégrale d'une équation qui se présente souvent dans les problèmes dephysique mathématique. Mais il est nécessaire, auparavant, de résoudre une question auxiliaire qui consiste à ramener à une intégrale simple l'expression
(a) if L. F{/cos0 + msin0Gcosh + »sin@sin4)sin0 40 dy,
F désignant une fonction entièrement arbitraire, /, m, n des quantités quelconques indépendantes de 0etd; ces” limites o, x se rapportant à l'angle 8 ; et o, 2 7 à l'angle. De sorte que ces deux angles, considérés comme coordonnées polaires relatives à des axes rectangulaires, déter- Miucraient successivement toutes les directions autour de
299 LIVRE 1V, l’origine. Cela posé, soient = kcos®, m—ksin®’cosÿ#’, 7 —/#sin 0 sin, d’où k=VE + m4;
l'intégrale deviendra
TT 27 | À (b) 1 À F(#cosp})sin0 dô dy, 4:
o Yo 4
p désignant l’angle formé par les deux directions déter:! minées par les angles 0, 4 et 0, d'. Or sin0d0d est l'élé. ment de la surface sphérique décrite de l’origine comme centre avec l’unité pour rayon; et, d’après les limites des intégrales, on doit considérer successivement tous les’ éléments qui composent cette surface et les multiplier par la fonction F (k cos p) qui dépend de l’angle que forment les rayons vecteurs relatifs à ces divers éléments, avec la direction fixe correspondante aux angles 6/, d/ déterminés: par les équations
COS 0 = — 7; VE + me n° .* 200
spl e Ports PS MES sin 0’ cos un ES RE Ve +-m + nr
sin 0" sin Ÿ’ ee PE Se SE Eee Ve + nm + 7
Il est donc bien évident que l'intégrale proposée ne dé: pend pas de la direction particulière des axes; et, pour simplifier le calcul, nous choisirons pour axe des x la di réction fixe dont il vient d’être question. Nous aurons alors p — 8, et l'expression (b) devient
T 2T \£ + F(#cos0)sin 0 40 d+.
En intégrant par rapport à Ÿ, on obtient
T 2 [ F(Æcos0)sin0 d0, (e)
expression qui devient, en faisant cos 0 —y,
+1 T4 SE" AP LASE Sep 25 [ F(Au)du, ou 2x [ F(uVE+m+nr)dp,
| de sorte que l’on a, quelle que soit la fonction F,
T 2T L [ : F (cos 9 + msin 9cosŸ + 2sin0sin+)sin 040 di ( ) [e) [e)
à "ds SPORT TE rs F(uVEÆEm+n)d.
— ] elle est la transformation que nous nous proposions de faire subir à l’expression (a).
