Proposons-nous maintenant d'intégrer l'équation
& d'u (£ u d'u =) SET a? À
() 4 de — dx? je dy? TE dz:°
Nous aurons une intégrale particulière en posant
2 at+ 6x + yY + dz ° ,
uU = 4, 6, y, 9 étant liés par l'équation A tpn VE + y +0,
Si l’on retranche les deux valeurs de u, correspondantes
au double signe de &, et qu’on multiplie par un coefficient arbitraire, on aura encore une solution, qui pourra se mettre sous la forme suivante :
, Lt — OL +1
FE NE 6 Y + alu u—Mte® My 02 EN AS D meérterte [| e dus l a ne
Si maintenant nous transformons l'intégrale [ e*# du k re À
Ne.
Fe" \
re
au moyen de la formule (c) du numéro précédent, cetté valeur de & prendra la forme suivante, M étant une con stante arbitraire :
T “AIT ï. Cas ù & u —= Mret*+72 +02 [ + eTêt cos 0+ayt sin 0 cos ÿ+adt sin 8 sinŸ cinQ dn ou
T 27 à Hé [ J Mre+atcosé) (yat sin 8 cos Ÿ) eat sin 9 sin d) sin PL b
Si l’on fait la somme d’une infinité d'expressions semblables dans lesquelles les constantes 6, y, d, M pourront prendre toutes les valeurs que l’on voudra, on aura en core une solution de l'équation (1). Maïs la somme
sMe®(*+atcosb) SLT ts Esp (zarsin@sio pis D did
peut, en choisissant convenablement les indéterminées
M, 6, y, d, coïncider avec telle fonction qu’on voudra de! x+atcos0, y+at sin0cos d, z+atsinüsint. Onaura! donc une solution de l'équation (1) en prenant
Æ PAR. tCOS0, tsin0cos!
2) ARE tsin0d0dÿF ES FR dise DRE A | ; Ame " \z+atsim0sinty
F désignant une fonction arbitraire de trois variables;
et le coefficient re étant introduit afin que, pour {= 0; T a on trouve du
dr: = F (x, Jr z).
L'expression (2) donne donc une solution de l’équation proposée, telle que pour { — o elle se réduit à o ,'tandis que sa dérivée de rapport à £ devient une fonction arbi=
traire de x, y, Si donc nous pouvions trouver une autre solution 4
léquation (1) télle, que pour t— 0 elle devint égale à une fonction arbitraire de x, y, z, tandis que sa dérivée par rapport à £ se réduiraît à zéro, la somme de ces deux solutions formerait l’intégrale générale de l’équation proposée. Or, toute expression satisfasant à l’équation (r} est telle, que sa dérivée par rapport à £ ÿ satisfait de
- même ; prenant donc une expression semblable au second membre de l'équation {2}, et substituant à la fonction F une autre fonction arbitraire f, puis diflérentiant le ré-
- sultat par rapport à {, nous aurons cette nouvelle intégrale de res (: 57
ni 7 'rsinedeau FRE CONTE AIRE cos, el 2 at sin 0 sin
Or il est facile de pe que cette expression devient
PE, 7: z) quand on fait £ — 0; tandis que sa dérivée par “rapport à { devient nulle.
L'intégrale générale de l'équation (1) est donc LE are DD x + at cos 0 atsin 4co = -— tsnm0dOd&F à pute cos PA RNESS À z+-at sin 0 sin 4
D RATE : + at cos 0 in0cos{ "PATES RC LL NO nine à dr LS | z+ at sin 0 sin +
eb,; pour { — 0, on trouve
Lu =f(x, J> z),
du
74 HN NCIN ER TT 4 Lintégrale est donc mise sous la forme la plus commode, puisque les fonctions arbitraires qu elle renferme sont précisément celles que l’on donne dans toutes les applications aux questions de mouvement. Ce sont celles qui déterminent l'état initial du système, c'est-à-dire celui qui correspond au temps { égal à zéro. C'est à Poisson
