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199. Si une équation à trois variables x, y, z renferme un nombre quelconque m de fonctions arbitraires de x seulement, il suffira de la différentier #2 fois par rapport à y, en considérant x comme constant; On aura ainsi 7241 équations dans lesquelles entreront les » fonctions à éliminer, sans qu'il se soit introduit aucune quantité qui en dépende : on pourra donc éliminer toutes ces fonctions, et l’on aura une équation aux différentielles partielles du cm" ordre. |
160. Mais si les fonctions arbitraires renferment x, y etz, il ne suflira plus de différentier par rapport à une seule variable; et pour que l'élimination puisse se faire, il faut de plus que l’on n’ait que des fonctions-arbitraires de fonctions déterminées de x, y, 2:
Supposons, par exemple, l'équation
() FEzr, 7, 2: f(g)] —0,
o étant une fonction connue de x, y, z, et f désignant une fonction arbitraire.
En différentiant l'équation par rapport à x et y succes-
; , , … dz dz
sivement, on obluent, en posant De Po 0 dE dF dE df {do do js 2 Monet TE do \dr dz }=,
dE dF dE dffdo de :
nr g — — FRA ICE. ÉAE dy dz df. do \d) dz
: s . ° , 5 . ÿ h d i 6 v - ‘à | On à ainsi trois équations renfermant f et se En les éli- ? Ÿ minant, On aura une équation aux différentielles partielles. : du premier ordre. D : ‘4 | Si l'équation (1 À avait été résolué par FAPpoëe jé on
du
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dérivées. 4 161. Si l'équation donnée pe Fe fonctions :
arbitraires f (6), f1 (91) de fonctions données ®, v,, les deux «.
. * . . e df d #
dfférentiations du premier ordre introduiraient ni F 400 54 | dy du.
et les trois équations ne sufliraient pas pour l élimination {
de ces deux fonctions , jointes à. f et fi. £
On différentiera tes les équations du premier ordi
par rapport à x et y successivement, et l’on aura trois
nouvelles équations, et deux CRE nouvelles à à élimi-”
CA sé Er ns
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dép" 1e A ner, 8avOir Ce SR On a doncsix équations etsix qu do? dy +2
tités à éliminer; ce qui ne peut encore se'faire. En différentiant les équations du second ordre, on in=. 7. dif do? dei r Le LA LE. ? ,. ,» # + équations. Entre trois de ces dernières et les six précé=!
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iroduira —— » et l’on obtiendra quatre nou IE :
dentes on éliminera les deux foncüons f, fi et leurs déri=. vées jusqu’au troisième ordre; on aura ainsi une équation aux différ ‘entielles partielles dé troisième ordre, dans la : à
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quellé il ne restera aucune trace des fonctions f'et fi, et j E qui exprimerà un caractère commun à toutes les équa- % ons qui ne différeraient de la proposée que par la nature ÿ | de ces fonctions. |
162. En général, si une équation à trois variables rene. ferme 71 foncuons D RES de fonctions déterminées de
,Ÿ, z, en la différentiant successivement par rappo t
INTÉGRATION. DES ÉQUATIONS DIFFÉRENPFIVLLES. 229 à x et y jusqu'à l’ordre minclusivement, on obtiendra un (m+1)(m+2) tions à éliminer. Pour que cela puisse se faire, il faudra, en général , que l’on ait
nombre d'équations, et (m2 +1)" fonc-
