ER

Aïnsi 9 = c représentant une solution de la question, la fonction 9 des quatre variables x, y, z, u, doit satisfaire à cette équation , u désignant la fonction de x, y, z que Von tirerait de équation 6 — c. Or, nous avons démontré (n° 78) que si l'on représente par Ÿ (x, y, z,u) = c! une quelconque des trois intégrales des équations simul-

tanées dy di. du

= À, ——=RB dx 7 16072 é où À, B, C représentent des fonctions données de x, y, z,u, On aura, quels que soient x, y, Zz,u, d'y dy Ci AN SR +A-<+B —— 0;

dx dy pris du .

donc La fonction Y jt une solution de l’équation (2), où æ, y, z, u seraien! considérées comme indépendantes, si l'on prenait

c'est-à-dire si Ÿ était une des intégrales, résolues par rapport aux constantes, du système

dy . Q dz R du

— Es

HP” dr. À ques.

qu'on peut écrire sous la forme abrégée

4 de dde du

PO TRE Aïnsi dx, y, z, u) — 0 satisfait à l'équation proposée. Car si on en tire les dérivées partielles de & qui seront

d'Ÿ d'Y d'Y du dx du dy du dz die dY dy due dy did D

€ : du du du

et qu'on les porte dans (1), on aura pour résultat

d'y d'Ÿ ER AS dy or D 7 LA TXT du —

équation qui est identique en x, y, z, u; et par conséquent aussi quand on mettra pour 4 sa valeur en x, y, z tirée de ÿ (x, 7, z, u) = 0. Cette dernière équation donne donc une solution de (x).

On peut même remarquer qu’une fonction arbitraire F (Ÿ) de la fonction d satisferait encore à l’équation (2), puisque sa substitution ne ferait qu'introduire de plus le

facteur cu d

Si donc on représente les intégrales des équations (3) par ir,» zu) 0; hr, 73, u)z=c, hr 7, zu) =6

on aura des solutions de l’équation (2) en prenant une fonction arbitraire, soit de d, soit de d, ou de. Maïs il est facile de voir qu’il en serait encore de même si l’on prenait une fonction arbitraire des trois, F (#, d,,.). : Car la substitution d’une pareille fonction au lieu de PA dans l'équation (2) donnerait la somme des résultats que" fourniraient séparément d, d,, d,, pourvu qu'on multi-"

4 le sine par LS le second par LAS et le troisième d'y [4 lb,

par - ——. On aura donc une solution de l'équation (2) ou

de la proposée en posant F (4, d,, d.) — 0, ou, cequiest la mème chose, | 4) af (d di), à 4 £ F et f représentant des fonctions complétement arbitraires. Il reste à démontrer que c’est là l’intégrale géné rale; ou, en d’autres termes, qu'en donnant à x une valeur particulière, zéro par exemple, on peut détermi=#

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 233 ner la fonction f de manière que u soit une fonction arbitraire de y et z.

Soit y (y, z) une fonction choisie arbitrairement; cherchons si l’on peut déterminer f de manière que l’équation

(5) (0, 7,2, u) =f{Ÿ(0, 7,3, u), Yi (0, 75 Z; u)],

soit satisfaite, quels que soient y et z lorsqu'on remplace u par x (y, z). Pour cela, posons

(6) V(0,ÿ, zu) =», Y(0,7,; zu) = w, VACOIIELT

«et introduisons les variables indépendantes # et w au lieu de y, z; l'équation (5) devra avoir lieu quels que soient # et w, quand on y aura fait les substitutions fouruies par les équations (6), qui donnent pour u, y, z des fonctions connues de s, w. Représentant par & (v,w) la fonction connue à laquelle se réduit le premier membre de léquation (5), on aura alors à satisfaire, quels que soient # et w, à l’équation j

m(v,w)—f(v, w), ce qui détermine la forme de la fonction f.

De quelque manière, au reste, qu'on élimine u, y, z, on obtiendra une équation qui renfermera la fonction f et la déterminera. L'équation (4) est donc l’intégrale générale de l’équation (1), puisqu'elle y satisfait, et que

pour x = o elle donñe pour « une fonction arbitraire de Jetz. Il cest même à remarquer que l'équation (4) satisfait, quelles que soient les valeurs des quatre variables XL, Y,Z,u.

Cette méthode, due à M. Jacobi, et que nous avons exposée sur une équation entre quatre variables, s’applique évidemment quel qu’en soit Le nombre, et il serait superflu de rien ajouter à cet égard. Il ne nous reste qu'à

» entfaire quelques applications.

Intégration des équations aux différentielles partielles. du premier ordre, qui représentent des surfaces cylindriques, des surfaces coniques, des conoïdes et des surfaces de révolution.

165. Nous commencerons par rappeler les équations finies et les équations différentielles de ces surfaces.

Équations finies de ces surfaces. — Une surface cylindrique est celle qu'engendre une droite qui se meut parallèlement à une direction fixe, en s'appuyant constamment sur une ligne donnée, qui est nommée directrice.

Soient |

El. rt) =10 2 EUR Me

les équations de la directrice , et x=az+a, y —=bz+6

celles d’une génératrice quelconque, & et b étant eoustants, et &, 6 variant d’une génératrice à une autre. La condition de la rencontre de cette génératrice et de la directrice s’obtiendra en éliminant x, y, z entre leurs équations ; d’où résultera une équation

On aura donc l'équation du lieu des génératrices en éliminant &, 6 entre cette équation et celles de la génératrice; ce qui donne, pour l'équation générale des surfaces cylindriques, © pouvant désigner une fonction quelconque,

p(x — az, y — bz) — 0, ou, en la résolvant par rapport à x — az, x— az = f(y — bz).

On. peut d’ailleurs vérifier que, quelle que soit la fonetion f, cette équation représente une surface cylindrique.

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 235 166. Une surface conique est. celle qu’engendre une droite qui passe par un point fixe, et s'appuie sur une ligne donnée.

Soient PRE #5 » 3) NS FAT PE) 0 les équations de cette directrice, et «, 6, y les coordonnées du point fixe ; les équations d’une génératrice quelconque seront

zx—a—a(z— y), 7y—6—=b(z— 7),

‘a et b variant d’une génératrice.à l’autre. Pour que la directrice soit toujours rencontrée par la génératrice, il

faut que ces quatre équations aient lieu en même temps; d'où résulte, en éliminant x, y, z, l'équation de con-

dition :

L'équation du lieu des génératrices s’obtiendra en éli-

minant a et à entre cette équation et les deux précé-

dentes, ce qui donne, pour l'équation générale des surfaces coniques,

et l’on vérifierait encore que, quelle que soit la fonction f, celte équation représente une surface conique.

167. Un conoïde est la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à un plan fixe, et qui rencontre constamment une droite et une courbe données. Prenons la droite donnée pour axe des z, et le plan fixe pour plan dés x et y, et soient

era o;s Fr Ta) = 6,

les équations de la courbe donnée; celles de la génératrice

pe #-

seront de la forme

Bi 0 UM ET

Eliminant x, y, z entre ces quatre équations, on aura

une équation entre a et b, qui exprime la dernière condi» !

tion à laquelle la génératrice doit satisfaire. Soit a = o(b) cette équation, on aura celle de la surface cherchée, en éliminant a et b entre elle et les équations de la généra=

trice.

. ie 2 À.

On trouve ainsi

ment que, quelle que soit cette fonction o, l'équation pré cédente est celle d’un conoïde.

168. Une surface de révolution est celle qu'engendre. une ligne quelconque qui tourne autour d’un axe fixe, en.

conservant avec lui la même position relative : de/sorte que, dans ce mouvement, chaque point décrit un cercle dont le centre est sur l'axe, et dont le plan est perpendi® culaire à cet axe.

Prenons l’origine en un point &, 6, y de l’axe, et soient «

F5, 7,2)=0,.. FRS) ne FE

les équations de la génératrice dans une de ses positions celles de l’axe seront de la forme