Intégration des équations de ces surfaces. Sur
faces cylindriques. — L'équation différentielle des surfaces cylindriques est, en posant 2 AR du BCE “à q ; En P pr ad dr ; ap + bg = 1x.
D'après la théorie des équations aux différentielles partelles du premier ordre, on posera les deux équations
240 + FAUE LIVRE 1Vh 4 simultanées dx 54 — = A ren dz, a b dont les intégrales sont & —'as —C, y — bz = ve i d’où "|
il résulte que l'intégrale de l'équation proposée est
x —az=F(y—bz), ou x — az = f(ay — bx),
F désignant une fonction arbitraire, qui se déterminera par une condition particulière. Supposons d'abord que la.
surface cylindrique soit assujettie à passer par une courbe | donnée, ayant pour équations "55e ;
È Pia ,2)==:0;, AO PONETT
pour qu'il soit plus facile de déterminer la forme de 14 \ fonction F, nous représenterons par une seule lettre la. 4 quantité qui s’ y trouve soumise, Soit donc
Y— bz=u;
nous remplacerons partout y par bz + u: l'équation de la surface deviendra x — az=F(u),
ei celles de la courbe se changeront en
f(x, bz+u, 3) = 0, f(x, bz + u,z) =,
et il faudra que ces trois équations soient satisfaites par une infinité de valeurs de x:, z, u. Si done on élimine æ et z entre elles, l’équation en uw devra être satisfaite, quel que soit u, ou, en d’autres termes, elle devra être identique. On en déduira donc la forme de la fonction KR," en tirant de cette équation la valeur de F{u). L’équation
Spor Te OX PER
DE
Ne
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 241 de la surface 2 4
x — a; —=F(y— b2) sera donc entièrement déterminée.
On peut, du reste, se dispenser de résoudre, par rapport à F, l'équation résultante de l'élimination. Car soit
plu, F(u)] =0o | cette équation; en y remplaçant u par y — bzet F{u) par x — az, on aura, pour l'équation de la surface proposée ,.
Me p(y —-bz, x — az) —0.
Si la surface cylindrique était assujettie à être circonscrité à une surface donnée, on cornmencerait par déterminer les points de cette surface. pour lesquels le plan tangent est parallèle à la direction donnée des génératrices ; etil suflira, pour cela, d'exprimer qu'ils satisfont à l'équation différentielle de la surface cylindrique. Cette Higne étant déterminée, le problème rentre dans le précédent.
174. Surfaces coniques. — Leur équation différentielle est (G—a)p+(r—6)q =3— 7.
On iniégrera d’abord les équations
dt, AA TS 0 Aide D — a Nr 6. 8 — 7 ce qui conduit à TX — à — 6 È 5,6; T <= CL; Z — Z — 7
et l'intégrale de Péquation proposée sera TX — à Y — 6 re À (2 ) D z— 2—7,
f désignant une fonction arbiiraire.
