OR A
Fa PREMEAT TS AS
4e | LIVRE IV. * 178 VS ONMINRE,
Supposons, pour la déterminer, que la surface : assujettie à passer par une courbe dont les équations d nées soient
Fr, y, 3) oi, 1 Fix, 2e on posera D 0
les équations de la ee et de la Jigne donnée devien dront
= fu) fe 6+(a—r)melæ os
F. [æ, 6 ps (z — 7)43]= = Ok
Ces trois équations devant avoir une infinité de solu
üons communes, si l’on élimine x et z ; l'équation finale
en u devra être ideniique, et la valeur que l’on en tirer:
pour f (u) déterminera la forme de la fonction Re 4
Si la surface conique était assujettie à être circonseri
à une surface donnée, on chercherait d’abord le lieu d
poinis de cette surface qui satisfont à l équation En de
tielle de la surface conique : le problème rentre alors « de celui que nous venons de résoudre.
175. Conoïdes.— L'équation générale des conoïdes est PT + qY = 0. | Les équations simultanées qu'il faut intégrer sont donc
À + ROGUE: S A dx’ "de — = — et ——=—7+ où He D x Y "à (a)
On entre z —a ,7 = 0x, a et b étant Les constantes 8 bitraires. L” mtégrale générale sera done
oh Re 32 — 9 pe a |
o désignant une fonction arbitraire.
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 243 Si l’on veut déterminer cette fonction par la condition que la surface contienne une courbe ayant pour équa-
tions F(x,7,3)=0, Fi(x, 7, ) Æs Qs
| T l'on rempl 1 on posera FA u , et on remp acera Ÿ par uX dans es
trois équations qui devront admettre une infinité de solu- . tions communes.
On aura ainsi
RERO MP (a Vaiz) 0, E{æ;ur;z) —'o.
Si l’on élimine x et z, l'équation identique en w qui en résultera fera connaître la forme de la fonction cherchée o{u).
On agirait comme dans les deux cas précédents, si le conoïde devait être circonserit à une surface donnée.
176. Surfaces de révolution. — L’équation différentelle de ces surfaces est, en prenant l’origine en un point de l'axe,
(y — dz)p — (x — az)q = bx — ay.
Il faudra d’abord intégrer les équations simultanées
dx — dy dz
————— —= ee , y — bz T— az bx — ay
ou (bx — ay) dx — (y — bz) dz,
— (bx — ay) dy — (x — az) dz.
Si l'on multiplie la première par a, la seconde par b, et Qu'on les retranche, on trouve, en divisant par bx— ay,
adx + bdy = — dz, d’où 2 + ax + by = c.
244 por Ne euh et DEVRA 2: nrove
Si maintenant on multiplie la première par æ 5: conde par y, et qu’on les ajoute, on trouvera
xdx + ydy + zdz = 0, HN
d’où "4 GX FA PE CNE ue à Cour ve =;
l intégrale de l’ équation proposée est donc
21 F4 7° ie + ax GE by). : HN ë
Dé dnode la fonction arbitraire par la condition € cf ue e la surface contienne la courbe ayant pour équasong
F(x, 73.2) AL Fi (x; 7,2) Qu
pour cela, nous poserons encore Z ira ax + by, = ue,
et nous séhniieronss comme dans Îles questions préc | dentes, x, y, z entre cette équation, celle de la surf: ace et celles de la coûrbe donnée: ; l'équation finale en u de être identique, et PART UA ainsi la fonction f (u (u
On agirait comme dans les cas précédents, si l’on d mandait que la surface de révolution fût circonscrite. À une surface donnée. AN
