CALCUL DES VARIATIONS
177. Le calcul des variations a été concu par Lagrange pour la résolution d’une nouvelle espèce de questions sur és maxima et minima. * À
Dans les questions ordinaires, on donne la forme d’une | expression qui renferme une ou plusieurs quantités in.
connues, et l’on cherche les valeurs maxima de cette expression, ainsi que les valeurs particulières des i inconnues qui y correspondent.
Dans ces nouvelles questions, on donne l'expression d’une différentielle qui renferme des fonctions inconnues
- de x, ainsi que leurs dérivées d’un ordre quelconque par
rapport. à x, et l’on se propose de déterminer ces fonctions de telle sorte que l'intégrale, prise entre certaines limites, ait une valeur maximum ou minimum. | Aïns: la différence que l’on aperçoit d’abord entre ces questions et les autres questions de maxima ou minima consiste en ce que les inconnues ne sont pas des valeurs :
. déterminées , mais des fonctions de la: variable par rap-
port à elle l'intégration doit être effectuée.
178. La marche à suivre pour résoudre ces sortes dé questions est la même que pour les autres. On suppose que l’on connaisse les fonctions cherchées, on les fait varier infiniment peu, en satisfaisant à toutes les conditions ; et l’on exprime que, dans tous les cas, la valeur de l'intégrale diminue, si elle doit être maximum , ou qu'elle augmente, si elle doit être minimum.
Il faut donc commencer par donner les règles générales au moyen lesquelles on peut déterminer l'accroissement infiniment petit des intégrales, et d’abord des quantités qui peuvent entrer sous le signe de l'intégration. Mais, avant de nous en occuper, nous allons éclaircir ce qui précède par la considération d’une question particulière.
179. Étant donnés deux points fixes et une droite située dans le méme plan, quelle est la courbe passant par ces deux points, qui, tournant autour de la droite . fixe, engendre une surface minimum ? D
Si l’on prend cette droite pour axe des x, qu'on partage en une infinité de parties la distance des projections des deux points, et que par les points de division on mène des plans perpendiculaires à l'axe, la surface engendrée sera décomposée en une infinité d'éléments, ayant pour expression générale 27yds, et correspondants à toutes les valeurs de x comprises entre les limites données x,, xs.
e , Ta Il faudra donc que l'intégrale / Yds augmente en pas- T 85%
sant de la courbe cherchée à toute autre voisine. Et dans
“ | | | l'intégrale L y’ ds', qui se FÉbROSS à une quelconque T; :
d’entre elles, les éléments y’ ds! peuvent se rapporter à des points de division de l’axe qui ne soïent pas les mêmes que pour la première; il suffit que les limites soïent les mêmes. De sorte que, si l’on voulait comparer les deux intégrales élément par élément, il suffirait d’en mettre le même nombre de partet d'autre, et l’on pourrait éta= blir telle loi que l’on voudrait entre les abscisses de deux éléments correspondants ; mais il sera avantageux de les supposer infiniment peu différentes l’une de l’autre.
Les limites x,, x, pourraient être inconnues, mais assujetiies à certaines conditions. On pourrait, par exemple,
| EN) 3 } é L"
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 247 demander quelle est la courbe qui, Ayant ses extrémités sur deux courbes données, et tournant autour d’une droite située dans le même plan, engendre une surface minimum. Dans ce cas, on reconnaïtrait qu'on a trouvé la courbe qui résout la question, à ce que l'intégrale
A + ds augmenterait quand on considérerait toute autre Dis
courbe ayant ses points infiniment voisins de la première, et ses deux extrémités sur les courbes données, à ie distance infiniment petite des extrémités de la pre-
. mière. :
Si l’on veut comparer deux à deux les éléments des deux intégrales depuis le premier jusqu’au dernier, on ne pourrait, dans ce cas, les supposer correspondants à la même abscisse, puisque les abscisses des extrémités sont nécessairement différentes. Il est donc quelquefois nécessaire, et toujours permis, de considérer les deux intégrales que l’on veut comparer, comme décomposées en un même nombre d'éléments correspondants à des valeurs de x infiniment peu différentes, et liées l’une à l’autre par une loi arbitraire.
Des variations.
180. Lorsque l’on considère un élément quelconque dune intégrale, et que l’on passe à son correspondant, les accroissements que subissent les quantités dont il dépend sont nommés les variations de ces quantités. On conserve le nom de différentielles aux accroissements que subissent ces mêmes quantités en restant toujours dans le système qui se rapporte à la même intégrale. On distingue les va- * riations des différentielles par la caractéristique d que Von substitue à la caractéristique 4; et on les suppose toujours infiniment petites.
Ainsi soit y une des fonctions inconnues de x qui entrent dans l’ expression sous le signe f'; dy sera l’accrois= !
sement que prend cette fonction quand on passe d’un élé-
ment de la première intégrale à son correspondant dans la seconde. En considérant y comme étant l’ordonnée d’une courbe, y + dy sera l’ordonnée de Ia courbe après sa: variation, et elle correspondra à la même abscisse que y. dans la première, dans le cas où les points correspondants | se rapporteront à la même valeur de x; au contraire, «4 » + dy sera l’ordonnée correspondante à l’abscisse x+Èx Ex si dx est la fonction infiniment petite de x, et continue. comme dy, qui exprime la différence des abscisses-des"
points que l’on fait se correspondre dans les deux inté=« Ë
grales. Dans ce dernier cas, il est peut-être plus commode de regarder x et y, ainsi que 0x, dy, comme des fonctions
d'une même variable arbitraire t qui n’entre même nulle"
ment dans l’expression donnée, et alors la fonction sous le signe f renfermera les diflérentielles dx, d?x,..., aussi
bien que ay d?y,..., rapportées toutes à une même ya#
riable qui n’a pas même besoin. d’être désignée.
. Lorsque l’on connaît les variations de toutes les « quan LL:
tités qui entrent dans une fofction, la variation de cette | Da6iôn se détermine par les règles. ordinaires du calcul
différentiel, qui font connaître l’accroissement infiniment
petit d’une fonction, d’après les accroissements ‘de toutes
les variables qu’elle renferme. Ainsi l on aura générale- ‘ment :
4 dY°37 048 dE (1) JE (u,v,w,...) = du + 5 LES +.
AS. Transposition des caractéristiques d et à. —IM# est important de remarquer que dans tous les cas on peut intervertir l’ordre des opérations quand on prend la diffé | rentielle-et la variation d’une fonctior quelconque »: En
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 249 ellet, soit » + dv ce que devient la fonction v en passant du premier système au second. Si l’on change t en t+ dé, la Ai elle ne de la fonction dans le second système sera d'v + d'dv. Donc la différentielle d’v de la fonc-
tion dans le premier système a pour variation: d” dv; on a donc
(ee Sd" v — d" dv,
| = Par là les variations de toutes les différentielles d’une: is sont déterminées par la variation de la fonction elle-même , et il en résulte qu’on peut exprimer la varia- | tion d’ une rt quelconque de x, y, z,... et de leurs différentielles, au moyen des variations de ces quantités æ,.y, z, et des différentielles de ces variations. Il suffira de faire usage de la formule (1), dans laquelle w, », w,... seront remplacés par x, y, Zoe dx, dy, dep. din ÉR y) d'z,...…. | Aïnsi, en représentant Dar po. As os À», B:, C:,..., les dérivées Dastielles par rapport à ces quañtités x,.., dx...., d’x,..., d’une fonction :
MAT 2 20e, ddr: . dm, d'y), On aura
; JF — Adr+Boy-+C02+... + Aidôx + Bd + Cidd2+….. :1# 0 + A, d?àx+B:d 07 +...
182. Mais il arrive souvent que les différentielles sont toutes prises par rapport à une variable particulière qui entre dans la question; alors les. expressions que l’on a ‘à considérer ne renferment que les dérivées de toutes les autres par rapport à celle-là, et lon a besoin de calculer les variations de ces dérivées. On pourrait bien les déduire de la variation des différentielles, en exprimant d’abord ces dérivées en différentielles prises par rapport à une
variable indépendante quelconque ; mais il vaut mieux
traiter la question directement.
Soit y une fonction de x, que nous pouvons nous représenter (/ig. 2) comme l’ordonnée d’une courbe dont x serait l’abscisse. Représentons par Y et X ce que deviendY dy
nent y.et x; la différence = —
sera la variation dx? dx"
e Eat ou d + et il s’agit de l’ex RARE au moven ? ?
dax" dx" S] P Y
des variations de x et y et des dérivées de ces variations:
Il y à deux cas à examiner, suivant que X est identique
avec x, ou qu il en diffère.
1°. Supposons que X ne diffère pas de x, ou que l’on ait 0x — 0, c’est-à-dire que nous regardions comme correspondants sur deux courbes infiniment voisines les points M,N, qui répondent à une même abscisse quelconque AP; MN sera dy, et, en différentiant par rapport à æ les deux membres de l'équation Y = y + dy, on obtiendra
d'Y 4 fl à d'èy.
dx dx! . dx" ?
d'où résulte 4) ct y: ER \ Hire Te
ne Supposons maintenant que les points correspondanis Met N (fig. 3) aïent des abscisses différentes AP, AQ ; on aura
AP—x, MP—y, AQ—X, NQ—Y, PQ—0:, NK—d,
et lorsque x croîtra par degrés égaux, X ne croîtra pas de la même manière, puisque X = x + dx, et que dx est une fonction, soit de x, soit d’une variable indépen
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 251 dante, arbitrairement choisie. Ainsi, différentier par rapport à x ou à X ne sera pas la même opération, et l'équation |
ne conduirait pas, comme dans le cas précédent , à
AUX: dry do y , .:
aX dr dm EX, REAPY Ilfaut donc salguler directement la différence — RER
Désignons par u l’ordonnée M'P de la courbe variée, pour la même abscisse x que l’y de la première courbe, qui est MP, et par w la différence M’M, qui serait dy si Von supposait dx = 0. On aura alors u — w + y; et, en observant qu'on peut considérer Nm et M'M comme
4e dy | e emkK=———dx, on aur égaux, et qu est À ura
Différentiant z fois l'équation u=od+Y;, on obtiendra
CEA” af OU LE
Er nan on .
dx" dx" dx"
Mais les points M’ et N appartenant à la mème courbe, les dérivées n°"* des ordonnées de ces deux points par rapport à leurs abscisses respectives x et X ne sont autre chose que des valeurs d’une même fonction dans laquelle on met successivement pour la variable les deux valeurs différentes AP, AQ , ou x et x + dx; d'où résulte, d'a
(NPA RS ar
ue LIVRE IV. LH ÉS ANOERR
et, d’après l'équation précédente,
d’une quantité infiniment petite, cette M donnera, : pour la différence
vante : J s
que nous regarderons comme renfermant la première,
une expression dents et les Hits Ti, Ls Étant à
pre iéi FR du calcul différentiel , Queer ségoil à : UE : u 16] SL “d'Y “ PEN ent
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dXe dx" dx+i 0x,
ONYET arY .d'o à ar'us 1 ÉEV18 14 TX qe Cie OO
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Observant d’ailleurs que es ne diffère de 7 que É
LT uTT Er dX" dx”
ou 34 Cu la vélénié HR ; dx" "|
dy VS d'o d'y AE POS TS AE
, dy:
dy = 0 + ôx.
Les formules (5) et (4) coïncideront lorsque l’on suppo- . sera 0x = 0. | F6 SSS
AS8. Trämsposition des caractéristiques e] sp —. | |
Considérons maintenant l'intégrale Ru U désignant 3
constantes ou variables. On peut la décomposer en une infinité d'éléments, dont le premier correspond à x, et le $ dernier à x; FRE de la dernière différentielle de x. 4 Elle sera donc la limite d’une somme telle que |
