D EU LU EL. CU

INTÉGRATION DES ÉQUÂTIONS DIFFÉBENTIELLES. 253

dans laquelle elle se change par-la variation des quane

… tités dont elle dépend, et soit U' ce que devient U en gé-

néral dans ce changement, de sorte que U/— U = AU.

Les limites de cette nouvelle intégrale seront x; + dx,

et Xi dx, et elle pourra être regardée comme la limite de Di USE U, RL EU0

mA

ces nouveaux éléments correspondant à chacun des pre-

miers,

Ha c’est-à-dire à OÙ:

L’accroissement de l'intégrale est donc la limite de PT TD) Je (U/L UT ou de ns AU, + JU: +... +OU,, ps

vus: soit qu'on suppose les limites x;, x; constantes, soit qu'on a les suppose variables, on a

NSP DRE

de sorte que, pour connaître la variation d’une intégrale définie , il suffit de calculer celle de la différentielle , et de li intégrer entre les mêmes ARE,

AS4. Expression de la variation EUR intégrale HE finie. — Considérons une intégrale de la forme

La [ Vdzx, RTE

la valeur de V étant

V = Ffx, JS EC re : SP E

désigne une fonction inconnue de x; et y',7",.... 70

Fe AATOERR

254 Ÿ LIVRE NIV.

sont ses dérivées successives par rapport à x. Nous nous, «

bornons à considérer une seule fonction y, parce que, s’il. y en avait plusieurs autres, il sufhraït de reproduire pour chacune ce que nous allons faire pour y. Nous examinerons deux cas distincts: celui où x,, æ, ont des valeurs’

fixes données, et celui où ces limites peuvent varier d'a]

près certaines conditions données.

1°, Supposons d’abord x, et x, constants; nous pour-"* PP P

rons alors faire dx — o et employer la Fa à (4) qui. donne pour une dérivée quelconque y!”

dm dy

At dam

Cela posé, si l’on observe que la variation de x, ou dx" est nulle, et que, par conséquent, celle de dx, ou dOx ,«« l'est aussi, d’où il suit que d (V dx) = dV.dx; la for

mule (6) donnera

(7) » [° V dx = f* OV.dx.

Platon s maintenant Fi A Or, comme nous l’avons it: remarqué, l’accroisse-

ment de V sera douné par les règles ordinaires du calcul!

différentiel, au. moyen des accroïissements des quantités

qui ont varié dans V, c'est-à-dire de y, y',..., y). On |

aura donc adN 7 A PA dY a — d —— (a), SV Mr 0 -dp Re = dY" +. re

que nous écrirons, pour plus de commodité, de la ma-.

nière suivañte :.

IW—=MOY+NÔr + Port Q0ÿ" +... + Udye).

équation (7) deviendra ainsi, en exprimant dy!,...,