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La > adN dæP d'Q à AU t nr: | (M DÉS + e a (x dx ses dx? Si Fa) 1 &

qui remplaceraient N, P,..., et par le changement dé M en z. Il en serait de : même pour un nombre quelqu ë.

de fonctions.

185. Si la fonction V renfermait les valeurs de y, y 125 4 relatives aux limites, la variation de l'intégrale se com= poserait des termes que nous venons de calenies plus les suivants : |

rs /aN dV os CA DT |

D 0 here VE à PAT. |.

Or, les quantités dy1, dy", Jouy Yes ÊVa re + ILES pas : Æ des fonctions de +, on peut les faire passer hors du

Ÿ D. à LE Pa F

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 257 L1 « LL » L L1 LT Signe 1e et les termes à ajouter se réduiraient a

fs aN : TAN *:dV dy NE CE dx+07, EE dr +... +07 EL. dx + ce € dy: Fr ay ;, . $- dy à

2°. Supposons, en second lieu, que x, et x, soient variables , et que dx ne soit pas nul. On aura, dans ce cas,

Le La La à f el À (War)= f (OV.dx + Vddx).

x, Tj x * ;

L'intégration par parties donnant

fraie= var forav,

léquation précédente devient

+ LT, Le La | Var = (Vax) ch (OV.dx — dV.d0x).

ca LT + ;

Soit maintenant

dN = Ldx + Mdy + Ndy'+Pdy"+ Qdy"+..

et, par suite,

SV=LI%+ My + Ndy + Pdr” + Q0y”; il en résultera

| 3 fe | BV. de —dV.r—dr| M (ar S3x) EN (ar — de) + | L

ou , en vertu de la formule (5),

QV.dx — dV,dx — dx (un + re No re ):

ide dx?

On a donc, pour l'expression de la variation cher- Al: 17

258 ai LIVRE 1V, Fe PUR chée 9 + s |

Foi TR ) Vadr= F — + BP —— +Q —- À “ ; (ae) vi) (no+ dx on: da? Ta "

On peut remarquer que cette. expression ne diffère de celle du cas précédent que par l'addition du terme | |

VASE ‘; car 6 Fe ici ce que Ÿ ap de he k

tion par parties, on ferait me ious les indices d "4

a différentiation sur w sous le signe Lu ; Et lon trouverait

Ty of Var; x, |

fer AN ER dQ " -æU\4 Ra Ët Re

M'z + N'z" 2! + P'7 1 $% On PORTAIT

et l’on ajouterait à} Sie précédente des termes où #

même, quel que füt le nombre de ces fonctions. | Enfin, si V renfermaitles valeurs dex,y,#;: 72!

relatives aux limites, on y ajouterait les termes suivants :

| z: AV LE: a VE CHUN | RE « mr ... x 2 dx e - (1 cd f. * Prengi an f. FALL +èn f se) x + 5 #3

186. Le cas où x, x, sont variables pourrait être immédiatement ramené à celui où ils sont fixes, sans faire usage de la formule (5).

En effet, considérons V comme l’ordonnée d’une courbe

MN (fig. 4), etsoient AP —x;, AQ = x, ; on aura

+ ( Ca :

Î Vdx = PMNQ.

Soit maintenant M, N, la courbe après la variation; la valeur de l'intégrale proposée sera, dans le second système, l'aire P,M,N,Q, ; on peut donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, regarder la variation de l’intégrale comme égale à

NQQ,K — MPP, H + M, LNI.

Les deux premiers termes représentent