VX, 1 VX

- OV étant la variation de V dans l'hypothèse dx — 0, et par conséquent ayant la même signification que dans le premier cas. Son expression sera donc la même; seulement il conviendra de représenter la variation de y au-

trement que par dy, qui, dans le cas actuel, aurait une autre signification, et nous désignerons par w la variation de y dans l'hypothèse dx — o. Il suffira done, pour obtenir.

né.

la variation cherchée de l'intégrale [ Vdx, d'ajouter e Ç

(vx) “au second membre de l'équation (9), dans lequel

on remplacera dy par w.

On retombe ainsi sur la formule (10), comme cela de-, vait être. On y ajouterait de même l'expression (11), siV renfermait explicitement les valeurs des variables aux limites.

187. Il nous reste à examiner le cas où la variable in. dépendante ne serait pas désignée, et où la fonction sous

le signe fre renfermerait pas, par conséquent, des dé-

rivées par rapport à x, mais des différentielles prises par rapport à une variable arbitraire qui n'entre pas dans la question, et n’est nullement désignée. Soit donc proposé

Ta de trouver e | U, én supposant z. Ê

U=F (x, de, dr, 13 FO OR Les limites x, et x, étant fixes ou variables, on a toujours, comme nous l'avons démontré,

Az TU

: | u=:| SU,

et, pour une variable quelconque w,

d d'u —: d'du,

Cela posé, désignons par L, M,N, P,... les dérivées

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS D\FFÉRENTIELLES. 261 partielles de Ü par rapport aux quantités x, dx, d?x, d°x,...,etpar L’, M’, N’, P’,... ses dérivées partielles par rapport à y, dy, d°y, d°y,..., on pourra exprimer OU de la manière suivante :

JU =Ldx + Moddrx + Nôd'xr + Pdodx +...

+ L'd7 + M'd dy + N'dd'y + P'Üdiy +...

Il est inutile de faire remarquer que les diverses quantités . L, M,..., L', M',..., ne sont pas du même ordre infinité- simal, et que le second facteur de chaque terme rétablit l'homogénéité. Intégrant les deux membres de cette équa-

® tion, et faisant sorür du signe | toutes les variations des

différentielles au moyen de l'intégration par parties, on

obtient la valeur suivante de d 1 U:

| M DxzN lddx+Pid'0r+...\zx, — dN on LPO, ie + d2P|,.,...:

X, 3 pes | R 3 + M' [dy + N’ ddy+P'Id'0y +...

AN Eu me D is,

d'air Se | PE,

+ f dæ[L — dM + d'N — dP+..,.) T, Te

+ dy(L/— dM'+ d'N'— d'P'+...).

Si l’on avait dans U d’autres fonctions que x et y, on ajouterait des expressions semblables à chacune de celles

262 LIVRE IV. ” qui se rapportent à x ou y dans ceite formule. On agirait comme dans les cas précédents si Ü renfermait explicitement les valeurs des variables aux limites. |

Détermination des fonctions inconnues.

188. La condition pour qu'une intégrale définie soit maximum consiste en ce que, quelque signe et quelque grandeur qu’on suppose aux variations infiniment petites dx, dy, 0z,..., la variation de cette intégrale soit constamment négative: la condition du minimum sera, au contraire, que cette variation soit toujours positive; et, dans les deux cas, elle doit être de signe constant. Il faut donc que la partie de cette variation où n’entrent que les premières puissances des quantités dx, dÿ,..., soit nulle, et cette condition sera commune au maximum et au minimum. On reconnaîtra l’un de l’autre au signe de l’ensemble des termes du second degré, signe qui devra d’ailleurs être constant. Fi

Nous considérerons le cas général où x,, x, sont variables, et nous supposerons les dérivées prises par rap- + port à x, ce qui est toujours possible. Alors l’expression

ax de la variation de l'intégrale ‘Vax, en se bornant aux . * #4 termes du premier ordre et en supposant que V ne renferme qu'une seule fonction y, est donnée par la formule (10). Il faut donc égaler à zéro le second membre de cette équation, pour avoir la condition nécessaire, tant pour le maximum que pour le minimum de l'intégrale.

Mais la somme des termes en dehors du signe [ doit

être nulle, et l'intégrale doit l'être aussi séparément; car, sans cela, si l’on fixait arbitrairement les variations indépendantes relatives aux limites, il resterait encore sous ”

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 263 le signe de la fonction arbitraire w, et cette intégrale dé-

finie ne saurait conserver la même valeur, quelle que füt cette fonction; le second membre de l'équation (10) ne serait donc pas constamment nul.

dN d'p 1%

dx dx°

TL, D'ailleurs cetteintégrale ji; wo dx (u— TX

ne peut pas être nulle, quelle que soit la fonction w, à moins que la quantité qui la multiplie sous le signe fne

soit nulle. En effet, w étant indéterminé pour toutes les valeurs de x entre x; et x,, peut être toujours pris de même signe que le second facteur; tous les éléments de l'intégrale seraient donc positifs, et leur somme ne pourrait être nulle. Il serait d’ailleurs indifférent que w fût assujeiti à certaines conditions pour les valeurs x, ou x;, parce que deux éléments n’ont aucune influence sur une intégrale. On doit donc avoir l'équation suivante : aN d'P dQ DS: Line

3 M — — NU — (: dx 5 dx? dx? #5 DZ dx"

Cette équation différentielle est généralement de l’ordre 2n, puisque V renferme y"), et que, par conséquent, U peut le renfermer. Elle est nécessaire, mais non suffisante,

La pour que l'intégrale d Vdx soit maximum ou mini-

s DE

mum. Elle renferme les quantités x, y, 7", y”,..., et fera connaître y en fonction de x et de 27 constanies arbi-

traires.

Considérons maintenant les termes en dehors du signe di

dans l'équation (10). Si les variations relatives aux deux limites sont indépendantes entre elles, la somme de ces termes devra être nulle pour chaque limite.

Si la question établit des relations entre les variations relatives à une même limite, on s'en sert pour éliminer un nombre égal de ces indéterminées, puis on égale à zéro les coeficients de celles qui restent indépendantes; ces équations, jointes aux équations intégrales, serviront à déterminer les constantes, ainsi que les valeurs de x, y, z, relatives aux limites.

189. S'il y avait plusieurs fonctions y, z,..., on suivrait la même marche. L'intégrale qui entre dans la variation devrait encore être nulle, indépendamment des termes intégrés. Elle renfermerait, comme nous l’avons vu, plusieurs fonctions w, w’,..., dont les valeurs sont

= 0Y—Y OL: Cr —L OP Ne

Ces fonctions arbitraires seraient indépendantes, puisque dans chacune d'elles il s’introduit une nouvelle variation arbitraire. Il faudrait donc que les quantités qui multiplient chacune d'elles fussent nulles séparément, ce qui donnerait autant d'équations différentielles simultanées qu'il y a de fonctions à déterminer.

Elles seraient de la forme

{ dN d’p «d& Q Me ad nee dx dx? dx je (14) ÿ | Fe dN' d'P' DE Q’ YA | Féde eur dx? dx: Re

M’, N',... représentant, par rapport à z, ce que M, N.,... représentent par rapport à y.

Les constautes se détermineraient encore par les condiions relatives aux limites.

190. Si les fonctions y, z étaient assujetties à satisfaire à une équation F (x, y, z) — 0, les variations dx, dy, dz

satisferaient à la suivante :

dF dF dr

On pourrait en tirer dz en fonction de dx, dy, et le substituer dans l'expression de la variation de l'intégrale ; on aurait ainsi une fonction indéterminée de moins sous,

le signe f} el, par suite, une équation de moins , qui serait remplacée par F (x, 7, z) = 0.

En eflet, la quantité sous le signe Î » qui doit être égalée

à zéro, est de la forme Aw + A'w’,

et l'équation (a) devient, en remplaçant dy et dz par leurs valeurs,

Did. dŒ, AE 2,1 PE dr +o)+— (z 0x + w/)— 0.

Le coefficient de dx dans cette équation est nul, puisqu'en différentiant l'équation F(x,7,z) — 0 on trouve

dE dE dF

2 [TRE 7 / dx ce 7 3

il reste donc seulement

de dE

dy dz Hirant de la «’ et le substituant dans l'expression Aw + Av, qui doit être égalée à zéro, on obtient

dE | dy A — A — w JF ,

266 ie LIVRE IV. : à A RUE ie Pan aus si À et cette quantité devant être nulle, quelle te soit la fc tion w, on doit nécessairement poser