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‘°° | # et la seconde detts être satisfaite quand on y mettra poil à une fonction quelconque satisfaisant à la pr

u et v sont déterminés par U et V au moyen d’une fortuile démontrée PR RUE et o De encc re

trait remplie si w et ” ne différaient que par un facteur Constant, et nous allons démontrer‘que cela ne peut être

autrement.

Posons , avec M. Cauchy,

Ta e [ uwdx = (x),

cette fonction (x) ne sera assujettie, en vertu de l’équa-

tion (&), qu'à la condition o{x,) — 0; on a d’ailleurs évi-

demmento(x;) =o,maiso(x) estentièrement arbitraire

entre x, et X°. On tire immédiatement

uo —9(x), d'où w—

Substituant cette valeur dans l'équation (6), on obtient

LEP ë = À à Se .

à px) dx re)

Pour yintroduire, au lieu de o (x), la fonction p(x)

dont les conditions sont bien connues, intégrons par

/ * w® #6 [a Lé parues ; nous trouverons, en désignant par (2) la dé-

LJ [4 rivée de —; ‘0 =

| pi

[4 0 ” L/ [rte dx — a ?(x) er [rte (£) SE

prenant x, et x, pour limites des intégrales, et observant

que o (x) devient nulle à ces limites, il vient

Bou jo 0e

et, par conséquent, ‘:400

f'oa(sy ess

Cette équation devant avoir lieu quel que soit p(x),on

/ en conclut nécessairement (:) == 0; ét, PAF Suite 1/4 :

[4 ES de, LOU Pier a désignant une constante inconnue. 1 1

Telle est donc l’équation différentielle qui déterminera » la fonction y. Quand sa valeur sera trouvée, et que les | constantes introduites par l'intégration auront été déterminées par les conditions des extrémités, on la substituera *

La É dans l'équation J Üdx — a, qui fera connaître la va=*

leur de la constante «.

. Il est facile de voir que l’on arriverait au même césulel

en cherchant le maximum absolu de | FL 0 LH ad À

et déterminant la constante « comme nous l’avons indiqué. On retombe ainsi sur la règle donnée autrefois par « Euler. |

Supposons actuellement que les limites x,, æ, ne soient k pas fixes; les équations (x), (6) seront remplacées par. les deux suivantes : ,

(y) bte f Awdr 0, (d) tn po dx 0 :

Yet y désignant les termes en dehors du signe f qui deviennent , et y, à la première limite, et d,, x, à Ja

seconde. .

L'équation (9) devra être satisfaite quand on mettra

pour w une fonction quelconque telle que l'équation (y)

ait lieu, de quelque manière que ce soit; ainsi w n’est

assujelti qu'à la condition que Î ‘uwdx soit égal à \ T, ÿ, — W:; et il faut que l'équation (d) ait lieu pour toutes les valeurs de w qui y satisferont : c'est là ce qui doit dé terminer la fonction inconnue y.

Lo Posons encore L uwdx—=9(x),ou aurao(ær,)—0,

et, en vertu de l'équation (7),

(7) p(as) = ÿi— 2,

4 É : ! x) Reportant dans l'équation (d) pour & sa valeur p( pi

[44 il vient

Pour introduire au lieu de # (x) la fonction o (x x) dont les

conditions sont connues, intégrons par parties; l’équation précédente deviendra , en ayant égard aux valeurs de

(a) et p(2),

k # À p. dE el Te Fe -#:

(e) Xa° X (£). Ÿ) ï. o(x) 6 PURE

ét comme 9 (x) est tout à fait arbitraire entre x, et x, il faut que cette dernière intégrale soit nulle, ainsi que la

“partie restante du premier membre. On aura donc encore