D de maintenant le cas où l'intégrale est
de la da SU : ne renfermant que des différen=
üelles Res pe rapport à une variable nt La | variation de cette intégrale est donnée alors par la for-, mule (12),et, par les mêmes raisons que dans le pre, mier cas, il faut égaler séparément à zéro la partie qui
En
est dégagée du signe [ et celle qui se compose de toutes 4 4
les intégrales, qui. sont en nombre égal à celui des va. ; raples 2, y #42 | 4
Or les fonctions dx, dy, dz,... sont complétemen 4 indépendantes les unes des autres; donc chaque intégrale! doit être nulle séparément, ce qui conduit aux équations |
suivantes : “S | SA | JL —dM + NN — dp +... 2=N, OS) L'— dM' + d'N' — d'P+.,,.—=0o, , Ne | (16) |
L'— dM"+ d'N°— d'P'+...=0,
On aura ainsi autant d'équations que de variables x, y, | 2,...; et comme l’une d’entre elles doit rester indéter- “minée, il est évident qu'une de ces équations doit rentrer dans les autres. Nous nous bornerons à cette remarque, et nous aJouterons qu on irouve ici un avantage que ne présentait pas le calcul du premier cas: c’est qu’on pourra choisir le système d'équations le plus avantageux, en laissant de côté l'équation la moins simple. - Quand on aura trouvé y, z,... en fonction de x, les constantes arbitraires introduites par l'intégration se détermineront, comme dans le premier cas, au moyen de l'équation qui se rapporte aux limites.
: 193. L'intégration des équations (16) devient plus simple lorsque UÜ ne contient pas x, ou l’une des autres foncions; car alors, Le premier terme de l’une de ces équations étant nul, et tous les autres des différenuelles exactes, On aura immédiatement une intégrale première de cette “équation. Si plusieurs de ces variables x, y,... manquent à la fois dans U, un nombre égal des équations (16) sont intégrables.
194. Les équauons (14) présentent la même simplifi- “cation quand y ou z n’entrent pas dans V; mais, quand C'est x qui manque, il faut faire quelques iransforma-
tions pour obtenir la simplification que nous ont offerte immédiatement les équations.
En effet, en supposant, pour plus de simplicité, qu’il n'y ait qu'une seule fonction inconnue y, la condition du maximum ou du minimum sera dN æ (ON LA 6 dx dx? dx?
et l'on aura, en observant que V ne renferme pas x,
A4 / " 7 = Mr + Ny° + Pr +HQr!" +...
Retranchant de cette équation la précédente, multipliée par y’, il vient |
av ES 7 ! aN | 7 , d'P “
+ Ca part TS) +
Or il est facile de voir que le second membre de cette équation est une dérivée exacte.
Pour cela, remarquons généralement qu’en désignant par u et v des fonctions quelconques de x, une expression de la forme |
ud'o — pd'u
est une différentielle exacte quand n est pair, et ud' vo + vd u
en est une lorsque n est impair. Il en résultera que tous
les binômes qui forment le second membre de la dernière
équation seront des dérivées exactes, et que, par consé®= *
uent. on pourra intégrer les deux membres de cette q ; P 5
équation ; ce qui conduira à une équation d'un ordre
moins élevé.
Supposons, par exemple, que V ne renferme que y, y
et y”. La dernière équation devient
GARE 2 FT TR en Dr Nr RNN He No Peattie TT LS
d’où, en intégrant,
dP b V = Ny’ Py” — y — + C (8) ere de) US r . . + . C2 mn É FA.
équation du troisième ordre, tandis que l’équation (a) était du quatrième. Si, en mème temps, V était indé=
4 pendant de y, on aurait M — 0; l’équation (a) serait intégrable, et donnerait : ps
L ne C
ae dP : £ . En éliminant 7. entre cette équation et la précédente, on trouverait VE Pre Cy #C;
C et C désignant deux constantes arbitraires. Cette équation n'est plus que du second ordre. Ainsi, lorsque V ne renferme que y’, y”, on peut obtenir une intégrale se- . conde de l’équation (a), et ramener le calcul à l'intégration d’une équation du deuxième ordre.
Si V renfermait une seconde fonction z et ses dérivées 'z! et z/, on obtiendrait de même MAN Ny + Pr a Te + N'z'+ P'z7 — 7 SN €:
Cas particulier où l’on ne considère que les différentielles du premier ordre.
…. 195. Appliquons cette théorie au cas simple où la foncî tion V renfermerait trois variables x, y, z, et les prenières dérivées seulement de y et z.
L'intégrale proposée sera
} RL e
PÉTIV, 27 Y 2142
