UT
ou
| ne ss dy dz
v : | AUDE 42%) dx = 0.
Sa
19, S'il n'existe aucune équation générale entre x, y, z, IT. | 18
on fera usage des équations (14), et l’on aura
IN aN’ (18) M—— = 0, M ER,
en supposant toujours
df Lun el af MO
ane ie — N Enr mn ee = ci dy ? dy’ CPE 2 do N
Ces deux équations simultanées, étant du second ordre, donneront y et z en fonction de x et de quatre constantes arbitraires.
Si les deux limites sont indépendantes, on aura pour
chacune
(19) (V— Ny' — N'z') 0x + Ndy + N'02 = 0.
Si pour l’une d’elles il n'existe aucune condition, 0x, dy, dz étant indépendants, leurs coefficients doivent être nuls séparément, ee qui donne trois équations entre les valeurs de x, y, z, y, z' relatives à cette limite. Si, au contraire, à cette même limite, x, y, z devaient satisfaire à une équation donnée o (x, y, z) = 0, on aurait
de
TT x + À dy + À d= 0.
Tr
Éliminant dz entre cette équation et (19) , il ne resterait plus que les indéterminées dx, dy dont on égalerait séparément les coeflicients à zéro. On aurait donc encore trois équations entre les valeurs de x, y, z, é , z' relatives à cette limite. On agirait de la même manière si l’on avait une seconde équation. R Actuellement il est facile de déterminer les constantes arbitraires introduites par l'intégration ; car les équa-
tions obtenues entre x, y, z; et ces quatre constantes de-« vani être satisfaites par 1, Vi, Z1, @L Par Lo, Yo, Za) il EN
p* INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 275
résultera deux équations pour chaque limite. Ainsi, pour chacune d’elles, on aura cinq équations entre les valeurs de x, y, z, qui s’y rapportent et les quatre constantes ; on pourra donc déterminer ces constantes et les valeurs de x, Y, z, relatives aux limites.
2°, Si les variables x, Y, Z sont tenues de satisfaire à une équation F (x, y, z) = 0, il faudra faire usage de la formule (15), qui devient, dans ce cas,
4 ( 2 dE (s “5 dE : dé} di EF dy Éliminant z au moyen de l'équation F{x,7, z) = 0, on aura une équation du second ordre entre x et y. En l’intégrant, on connaîtra y, et, par suite, z, en fonction de x et de deux constantes arbitraires. | Les valeurs de x, ÿ1,°Z1, Xe, Ya, 22, se détermineront comme dans. le cas précédent, en observant qu’elles doivent satisfaire à l'équation F{x,7, z) —o. On aura alors quatre équations pour chaque limite. Les deux constantes arbitraires se déduiront de ces équations, ainsi que les valeurs de x, y, z relatives aux limites.
entre les af Ti Ÿ3 7 des divers points de ‘chtte À ligne, c’est-à-dire où elle n’est pas A à se trouver à sur une surface donnée. MMA À
L'intégrale qui doit être minimum est
Ta { [ de Vi+ y" + 75; Æ, { on a done V— Vi ++ RS M0; M more où MS re
F° dy 2, RSR ER
Ne NN
V1 + y? + z'? ds Les équations (18) deviennent SA UNRE
dN >; an
Se Le
N et N’ sont donc constants, et, par suite, y’ et z'. Soient
on en déduit
Yy=Cxr+ d, ze Ce LA j
Aïnsi, quelles que soient les conditions relatives aux ex-
NPÉCAATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 277 trémités, on trouve, comme on devait s’y attendre, les équations d’une ligne droite.
L équation (19), qui doit avoir lieu pour chaque extrémité, devient
0x +y'd y +zdz—= 0, »
(a) ‘ ou dx dx + dy dy + dzdz= 0.
Or il ya trois Cas à éxaminer pour chaque extrémité, 19, Si Pextrémité (x:, ÿ1, z1) est fixe, on a
TION Or) 0, K dE où;
ses coordonnées %1, Y1, 3, sont données, et les constantes C, C”, d, d' devront satisfaire aux deux conditions
Nn=Cx+d, za —=Cax + d".
2°, Si cette extrémité salisfait à une équation
Exit, 2 = 0, on aura dF dE dE
ar nor, + D'OEE , RATER fé qaner "A 4
Eliminant 9 z, entre l'équation (19) et celle-ci, puis égalant à zéro les coefficients de dx, et dy;, on obtient
dF; dr RCA dF dE dr
DIN 79 r
dz dx dz dy dy
dF 48 dE dE | —=C-—, ——cC | dz dx dy dx
{ équations dans lesquelles x, y, z sont remplacés par x;,
Ces deux équations seront jointes à F (x, ÿ1, z1) =0;, et aux deux suivantes :
N=Crx+d, = Ca +d.
On aura ainsi cinq équations entre %1, ÿ1, Z, et les quatre constantes.
3°. Si l’on donnait deux équations entre Xi, Y1, Z1, On LA
arriverait de même à cinq équations entre elles et les M
constantes. ; Ainsi, pour chaque extrémité, soit libre, soit assujettie à une ou deux conditions , on trouve toujours deux équa-
tions entre les constantes, ou directement, ou par l’élimi- «
nation de x, 1, Z1. Donc les quatre constantes pourront toujours être déterminées par les conditions relatives aux deux limites. «
