L'équation (a) renferme une propriété géomé

wique remarquable de la ligne minimum. En effet, elle

exprime que la direction qui fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz, est perpendiculaire à celle dont les cosinus sont proportion- -+nels à dx, dy, dz. D'où il résulte que la tangente à la ligne cherchée, menée par l’une quelconque de ses extré=

mités, est perpendiculaire à toutes les directions suivant

lesquelles cette extrémité peut se mouvoir. Elle est done normale à la courbe ou à la surface sur laquelle doit rester cette extrémité, si elle n’est pas fixe de position.

198. Supposons maintenant que la ligne cherchée soit assujettie à se trouver sur une surface donnée, ayant pour équation |

FLO Re) 0

il faudra, dans ce cas, satisfaire à l’équation (20), qui se”

LU te UE

ET ee ne dE S PREES MEET

| ce. "1

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 279 réduit à dE dN dF aN’ dE; ar ai dE à 22 —————— —, où —d.——= —d.—. dz dx dy dx def V4 dr :4 ds

Cette équation du second ordre, jointe à la précédente, donnera y et z en fonction de x et de deux constantes | arbitraires.

L'équation (19) aura lieu pour chaque limite, et démontre encore que, si elles ne sont pas fixes, la courbe cherchée est perpendiculaire aux courbes suivant lesquelles elles peuvent se mouvoir sur la surface donnée. : Dans l’un et l’autre cas, les constantes se déterminent par

les moyens déjà indiqués.

199. L’équatior & “Aie Pare z ds? dy ds’ propriété remarquable de la ligne minimum. En effet, fa

fait connaître une

droite qui Joint un quelconque de ses points au centre de courbure fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont

roportionnels à =; —=;, -——: et les cosinus relatifs à la PSE ds? à ds? k ds? ?

* s £ . dF dF d4F normale à la surface sont proportionnels À 7) qe . : dx dy: dz

Or l'équation précédente donne

TAF. #e Aa ds, ds f b Æ — à 1 dE dE dy dz

et il est facile de voir que ces rapports sont aussi égaux à d?x ds!

dr

; Car la symétrie des données relativement à x, y,

DT AP à NS PE ET mr US Ce RARE Gu'R PRES RCE SONORE DL all:

| 280 , sis LIVRE XVe4' br PR “FA ; montre qu’en dirigeant autrement le calcul, on aura trouvé ce dernier ra pps égal à à l’un des deux autres. C’est, au reste, ce qu’on peut facilement vérifier. En effet, les équations (b) donnent PE la .

dy Pz \d°y dr "d'etre ds ds d$ ds ds dd ds

* dE dF. dE dy dE C4 2 da dy ds du æ Or

comine nous l’avions annoncé; la direction d ÿ normale 1% à Ja surface se confond donc avec celle de la droîte menée | ‘4 du même point au centre de courbure de la ligne : mini- b

mum. En d’autres termes, le plan osculateur de cette 4 courbe est constamment normal à la surface. RE

200. ire de révolution minimum. — Proposons-nous M de trouver la courbe plane passant par deux points don- nn: nés, et qui engendre une aire minimum , en tournant au. b tour d’un axe AX situé dans son plan. | 24

+ 4 : PF FO TTC 2 peu, 4! à L'intégrale f y V de + dy? devra être minimum ;. | Ti "KE h

rt"

et z n’entrant pas sous le signe JE il est convenable d’ap-

pliquer les équations (16) ou (17). En prenant les pre="

; { mières, et observant que L, N, P,... sont nuls, ontrouvera, en désignant par c une constante arbitraire,

y dz M — E; ou Le

Var? + dy?

d’où l’on üre

Li dus d : 17140 r=eu+ déni cm 1 Ft

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 281 . et, en intégrant, Æ — Ci | ces ee) ee = |. ne 9

Y + Vr— cb'ce

d'où

équation d’une chaïînette dont les branches infinies s’élèe-

vent au-dessus de l'axe des x, la direction de la pesanteur n'étant supposée perpendiculaire à cet axe.

. Les constantes c, c; se délérmineront en exprimant que

l'équation est satisfaite par les coordonnées des points

donnés. Si l’on considère le cas le plus simple, où les “ordonnées de ces points sont égales, la courbe sera symé- Wurique par rapport à la perpendiculaire à l’axe, menée “à égale distance de ces deux points, et que nous pren- - drons pour axe des y. Soient & et — a leurs abscisses respectives, et D leur ordonnée; on aura d’abord c, — o pour

que l'équation ne change pas quand on remplace x par

— X; puis

ce qui détermine c.

À a bu 3 Si l’on pose - =, on a M (e“+ e-"*), et l’on con- C }

x à . : bu | naitra u par l'intersection de la droite y — e et de la ; I TR :

chaînette y —- (e“+ e7") ; la valeur de c s’ensuivra. @