Il n'est pas toujours possible de satisfaire à l’é

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En effet, le second membre est infini pour u—o et u = © ; dans l’intervalle, il reste fini et positif : il a done

LE: # à + + : : 2 b.70 un minimum, et le problème serait impossible si — était

moindre. Cherchons donc la valeur de ges relative à ce. minimum : )l y aura une seule solution si L on donne égal à cette valeur; deux, s’il est à grand: et aucune, s’il est plus petit. f:

La valeur de u relative à ce minimum sat à

u —U : * Fe C3 « ñ 4 * e de ir at | M4 [ZA ‘]

Si l’on éliminait w entre cette équation! et la précédente

“on aurait l’équation qui doit déterminer la plus petite b € 1 (PES valeur que — puisse avoir pour que le problème soil 1°5g AE : | c$.50 Si l’on observe qu'on a identiquement \4 (eu — Cr der (et + eu? — Â, la dernière équation peut se mettre sous la forme et + et ET an °°} mms, | ET V(e* -+- pe « s «s a d’où résulte TS 2 b fbu , LACS He (PRE "4e «a a Le : A 4 AR \ # A Û U = I1 + ri Ë

7 4 a? æ b / a? ET ÉUREe) A a +

b? | one à 2 PA

Si l’on néglige . dans le second membre, il devient trop

petit; ainsi on a

b FT Fi nage eos

La réciproque de cette valeur est donc plus grande que

; et si on la’ substitue dans le second membre, il de-

Si à

- D e # . b vient trop grand et donne une limite supérieure de —a

À : a Il en résulte une valeur trop grande pour 7; et, en continuant ainsi, l’on aura une série de valeurs alternative- °. b LI ment plus grandes et plus petites que -; et qui s’en rapa

procheront indéfiniment. On trouvera ainsi

Dis Li e F à

Il faut donc que le rapport — soit au moins égal à : (44

1,19967 pour qu'il y ait une courbe qui engendre une

aire minimum; et l’on concevra la possibilité qu’il n’en

existe pas, si l’on observe que, lorsque la courbe coupera Paxe, les ordonnées deviendront négatives, et l'intégrale décroîtra indéfiniment.

ne peuvent donner deux minima, car il devrait y avoir.

un maximum intermédiaire, ce qui exigerait trois solu-

tions. Elles ne peuvent non plus donner deux maximas" elles donnent donc un maximum et un minimum. L'in2h tégrale diminuant jusqu’à l'infini négatif , on voit que le maximum correspondra à la chaînette qui aura son som-" met le plus bas, et le minimum à celle dont le sommets sera le plus élevé. Cette dernière correspond à la plus grande des deux valeurs de c, puisque l'équation de las

courbe est

Chi F=-\e +e

ei qu'en faisant x = Oo, on irouve c pour ordonnée du

sommet.

202. Maximum de l'aire de courbes isopérimètres. =" Supposons que les extrémités de la courbe soient don-"

nées, et aient pour coordonnées x, Y1, €t Æs, Vas linté-

Ts grale qu'il faut rendre maximum est *e ÿdx, ei l'on « F J

doit avoir, en désignant par / la longueur donnée de la courbe, | la SRE RE rt dx Vi + y? = 71.