VX

On posera, d’après la règle du maximum relatif,

LT

[ra vt or) Aie

Le T,

x n'entrant pas sous le signe f: on appliquera l'équa-

“re 9 b Ù . ; 0 | ” Si l’on a - > 1,19965, on a deux solutions; mais elles D ro U |

En ER Ne gen nl re abs A 2e

‘ pas né TE

d'où

tion (19), et l’on trouvera

F2 y +aVi DT pi an masupes à | VE ou (y—c)Vi+g"+a=o; d’où dx = Ér-Amar TR Va — (y —c)?

et enfin

et c désignant deux constantes arbitraires. La courbe est

donc un arc de cercle; et il reste à trouver les constantes @, ©, c’. On exprimera d’abord qu’il passe par les deux points extrèmes donnés M, N (fig. 5), ce qui donnera

fm —c} + (y — ec} — w, (æ —c) + (3 — CF Eee

Dis Di —20(a — 2) + Yi — Vs — 20 (Yi) = 0,

équation qui exprime que le centre se trouve sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint les extrémités.

Soit d'la longueur donnée de cette droite, on aura

d'—928asin —;:

2. & équation qui détermine x; c et c’ s’ensuivront, et l’on trouvera deux cercles dont les centres O, O’ seront symétriques par rapport à la corde donnée. L'un se rapportera “au maximum, l’autre au minimum : car les deux aires Sont respectivement égales au trapèze MPON, augmenté où diminué de la mème quantité MRN ; donc, si l’une est

maximum, l’autre est minimum. On en conclut encore: que cette surface MRN est maximum; et si la question à 4

pour objet l'aire comprise entre la corde donnée et l’are,

elle n’est susceptible que d’un maximum, et il est déter= miné par l’arc de cercle dont la corde et la longueur sont M

connues. ; | Si la grandeur de l'arc et la direction des axes étaient

telles que le segment MRN fût coupé par les ordonnées extrèmes, cette dernière proposition n’en serait pas moins M vraie : car, si l’on suppose la courbe déterminée, on peut M y tracer d’une infinité de manières une corde telle que, L pour un système d’axes convenable, on rentre dans le cas 6 précédent. Or, l’aire totale étant maximum, ce segment M

le sera de même en laïssant son périmètre constant; donc

il est terminé par un arc de cerele : ce qui ne saurait être L pour toutes les cordes qu'on peut ainsi concevoir, si la ! courbe entière n’est pas un arc de cercle. Si les deux points # M et N se confondent, on a le cas d’une courbe fermée, ét!

l’on voit qu elle doit former un cercle entier.

203. Maximum de la surface ec iol par la mr | tion de courbes isopérimètres. — Il faut, dans ce cas, que

CH à J ydx V1 +7"? soit maximum, en même temps qué re

fes dx Vi+7y"* = 1l; on devra donc poser

La LL: ARS LH ‘k dr Vi +y + a Vi +y*) dx] =

ou

Te F ver [ (y +a)Vr +y'dr| = 0.