CHAPITRE XI

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE RAPPORTS D'INFINIMENT PETITS.

61. Le point de vue auquel les modernes ont considéré les tangentes aux courbes, les a conduits naturellement aux rapports de quantités décroissant indéfiniment. Les anciens regardaient les tangentes comme des lignes telles, qu'à partir du point commun avec la courbe les deux branches de celle-ci se trouvaient d’un même côté de la droite; tandis que les modernes les ont regardées comme limites de sécantes passant par le point donné de la courbe et par un second point de la même courbe, qui se rapproche indéfiniment du premier. 1] est résulté de là, comme nous allons le montrer, que les modernes ont été conduits à la recherche de limites de rapports d’infiniment petits, problème dont les anciens n’ont pas eu occasion de s'occuper.

Les points d’une courbe peuvent être rapportés à des systèmes de coordonnées très-divers, c’est-à-dire déterminés de bien des manières différentes par les valeurs de quantités variables. Nous allons examiner plusieurs de ces systèmes, et montrer que dans tous les cas la détermination de la tangente revient à celle de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites, dépendant l’une de l’autre d’après les données de la question.

62. Coordonnées rectilignes.— Soient M ( fig. 23) un point donné sur une courbe rapportée à deux axes AX ,

AY; AP, MP ses coordonnées x, y ; M' un poiæt de la

même courbe, qui se rapproche indéfiniment de M, et dont les coordonnées soient x +, y + k; la sécante MM' coupe l’axe des x en un point S, et la limite R de la position de ce point déterminera la limite de la sécante, ou

la tangente. La limite de S sera connue si l’on trouve la de y 2M4 #

limite de PS : or on a la proportion ENT T

Donc, en prenant les limites des deux membres,

DR lim. ra DA Hi: is h PR Te ol lim. A lim.

hi

Donc la détermination de la tangente à la courbe se ramène à celle de la limite du rapport de deux quanti tés infiniment petites qui sont les différences des coordonnées du point donné et d’un point infiniment voisin pris sur la courbe, et qui sont liées l’une à l’autre au moyen de EH équation de la courbe donnée.

Au lieu de déterminer PR ou la sous- -tangente, on - peut chercher l’angle de Îa tangente avec l’axe des x. ee] LI ? LA k Soient 0 l’angle des axes, © l’angle cherché, m—lim. 7° on aura, par le triangle MRP, Sin © FAUAT:

sin(O6—w) PR d'où ‘mm SiN0 COSw — m Sino COS0 = sine, el, par suite,

m Sin 0

ang o — e 1 + m2 COS 0

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 07 et, si les axes sont rectangulaires, tango — "ni UN: T- Il est inutile de faire remarquer qu'il faut avoir soioneusement égard aux signes des accroissements ME, M’, sans quoi la sécante MM” et sa limite ne seraient pas du côté où elles doivent être par rapport à MH.

63. Coordonnées polaires. Sen O le pôle (fig. 24), OX l’axe, M un point donné sur une courbe dont on a Pons et dont les coordonnées sont 8 ei r; M' un point infiniment voisin; 2 et k Les accroissements de 0 et 7 en passant de M à M: la tangente en M sera la limite de la sécante SMM, et peut être déterminée par la limite de l'angle OMS, qui est la même que celle de MOM', puisque la différence de ces deux angles est MOM/ qui tend vers zéro. Soit w cette limite ou l'angle que fait la tangente avec OM. Décrivons de O avec OM pour rayon Parce MH, et joignons MH; le triangle MHM/ donnera

sin HM/M MH sin HMM' HW

Observons maintenant que l'angle HM'M a pour limite w; que l’angle H à pour limite un angle droit, puisque l'angle en O du triangle isocèle HOM à pour limite zéro; que, par conséquent, la somme des deux angles en M, M dans le triangle MHM' a pour limite un angle droit, d’où il résulie que les limites de ces deux angles sont complémentaires. D’après cela, en égalant les limites dés deux membres de l'équation précédente, on aura

sin Mol © 1:

AN, "et À COSo HM

Or on peut, d’après le principe fondamenial des infini-

ment petits, remplacer HM par toute autre quantité dont le rapport avec HM ait pour limite l'unité; et on a vu, dans la Trigonométrie, que le rapport d’un are infiniment petit à sa corde a pour limite l’unité. On peut donc remplacer la corde HM par l'arc dont la valeur est rh, et l'équation précédente devient

rh À 7

tango — lim. PR! 1m

lim. h

Le problème des tangentes, dans un système de coor-

données polaires, est donc encore ramené à la recherche de la limite du rapport de deux infiniment petits, dépendanis l’un de l’autre, au moyen de l’équation de la courbe, et qui sont les différences des coordonnées de deux points infiniment voisins de la courbe.

64. Troisième système de coordonnées.— Supposons maintenant les points déterminés par leurs distances à deux points fixes À, B ( fig. 25); soient M le pointoù l’on veut mener la tangente, et dont les deux coordonnées seront AM=—7r, BM=— 7; M' un point infiniment voisin ayant pour coordonnées r + h, r'+Æ; la tangente sera la limite de la sécante MM”, et peut être déterminée, par exemple, par les angles w, w' qu’elle forme respectivement avec MA, MB. |

Ayant pris MH — k, MK — k dans le sens qui convient au signe, et décrivant de À et B comme centres avec les rayons AH, MK des ares de cercle, ils se rencontrent en M. Si l’on joint M'H, M’K, les angles K et H auront chacun pour limites un angle droit, puisque les ares KM’, HM' tendront vers zéro; les angles formés

par MM’ en M’ ei en M auront, par suite, des limites,

complémentaires; ces limites pour Îles angles en M ont

éié désignées par ©, &.

LL4 ps

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 80 Cela posé, on aura | KM : snMMK HM __snMWH MM siokK MM sinH d'où sinMM'H sinkK sinMM'K sinH 4°

en prenant les limites des deux membres,

(1) ; = lim. =:

Les angles w, w' de la tangente avec MA, MB sont donc , Q , 4 ] à ‘ 2 .

déterminés dès qu'on connaîtra lim. 7 puisque leur somme

est connue.

Le problème des tangentes est donc encore ramené, dans ce nouveau système, à chercher la limite du rapport des diflérences infiniment petites des coordonnées de deux points de la courbe.

65. Au lieu de déterminer par le calcul les angles w, w, entre lesquels on a deux équations, on peut facilement construire la tangente d’après l'équation (1). En eflet, si l’on prend sur MA et MB, ou sur leurs prolongements,

deux longueurs MS, MK ayani un rapport égal à lim. e qu'on élève en S et R des perpendiculaires sur AM, MB, et qu'on joigne leur point de rencontre I à M, la droite IM sera la tangente, car les cosinus des angles IMS, IMR auront pour rapport

MS lim h NI. ou ‘7

On aurait pu arriver directement à cette construction sans passer par le calcul des angles w, w', et par des con-

sidérations qui se retrouvent souvent dans l'emploi des infiniment petits en géométrie.

Sur le rayon AM prolongé (fig. 26), prenons une quantité constante MP; menons PS parallèle à M’'H jusqu'à la rencontre de MM’ en $ ; menons énsuite SQ parallèle à M’K ; le quadrilatère MPSQ sera semblable à à MHM'K , et l’on aura

MP : MQ :: MH: MK :: z:%

À mesure que À et À tendent vers zéro, MQ tend donc

vers la valeur finie dont le rapport à MP est la limite KE s . ; : , é

de "* La sécante MM! étant toujours dans la direction de ; :

la diagonale MS, la tangente sera la limite de cette direc-

tion, c’est-à-dire celle de la diagonale du quadrilatère

limite de PMQS. Or les angles P et Q de ce quadrilatère,

étant égaux respectivement à H et K, ont pour limites des

angles droits. On construira donc facilement le quadrila-

tère limite quand on connaîtra la limite de £ ou de 2 car on en déduit immédiatement la limite MR de MQ. II suflit ensuite d'élever en Pet en R des perpendiculaires à AM, MB, et de joindre leur point de rencontre I au point M : cette dernière ligne sera la tangente. Cette construction, obtenue par des considérations diflérentes, ne diffère pas de la précédente.

66. Autre système de coordonnées. — Supposons actuellement que les points soient déterminés par leur dis tance à un point fixe O (fig. 27), et une abscisse ou une ordonnée par rapport à une ligne fixe quelconque passant par O. Soient À l’origine des abscisses, AP=x, PM= y; OM = r; le point quelconque M sera détér ABS par x etr, ou yet 7.

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. (eh:

Cela posé, M étant un point quelconque d’un lieu, déterminé par une relation entre ces coordonnées, on demande de trouver la direction de la tangente en ce point. | |

Soient MK —k, PP'— 2 les accroissements correspondants de r et x pour passer à un point voisin M’ du lieu, et qu'on portera dans un sens ou dans l’autre, suivant qu'ils seront positifs ou négatifs. Dans le quadrilatère MHM/K., l'angle K tendra vers un angle droit en mème temps que À et À vers zéro, et la diagonale MM vers la iangente.

Nous nous bornerons ici à l’un des procédés employés dans le cas précédent. Nous prendrons PR constant; par le point S de la sécante correspondant à l’abscisse AR, menons les droites SQ, ST parallèles à M'K, M'H : le quadrilatère MOST sera semblable à MKM'H, et la limite de la direction de sa diagonale MS sera la tangente cherchée. Or on pourra construire le quadrilatère limite

Si l’on connaît la limite de MQ, PR ou son égal TS étant Constant ; et comme on a

il s'ensuit que la limite de MQ sera connue si l’on connaît h , Fe celle du rapport Soit MI la limite de MQ; comme

l'angle Q a pour limite un angle droit, le quadrilatère limite sera MIUV, et la diagonale MU la tangente. On voit qu'il sufhit, pour la construire, d'élever en I une perpendiculaire à OI, et de chercher son point de rencontre ÜU avec la perpendiculaire à OR. Si les deux coordonnées étaient r et y, au lieu de r'et x, le même quadrilatère donnerait des résultats analogues, et la queston serait toujours ramenée à trouver la limite du rapport

des différences des coordonnées de deux points infiniment

voisins du lieu.

67. Coordonnées angulaires. — Considérons encore un système où les poinis seraient déterminés par deux angles formés par les droites menées de ces points à deux poinis fixes. Soient À, B (fig. 28) ces points fixes, MAB = &, MBA — 6 les deux angles qui déterminent la position d’un point quelconque M ; on demande de mener la tangente en M à un lieu déterminé par une relation entre & et 6. Soient L et k les accroissements positifs ou négatifs de « et 6, quand on passe de M en M, MP égal à une constante arbitraire, PS parallèle à MU, SQ parallèle à M’K; les quadrilatères MPSQ, MUM'V seront semblables, et la tangente cherchée sera la limite de la direction de la diagonale MS. Pour la connaître, il suffit de déterminer les limites de MQ et des directions PS et QS. Quant à ces dernières, il ést évident qu'elles ne sont autres que les directions de BM et AM qui sont les limites de celles de BM’, AM’. Pour avoir la limite MI

: dr MECS 5 de MQ , il sufhit de connaitre la limite du rapport —= qui

AMV est égal au rapport Du | MQ Or.

MV sin MU sint MA sinV MB snU donc

MU MB sin Æ sin V sina Sin sinV

MV — MA sin smÜ siné sin sinU

Or les angles V et U ayant pour limite l'angle AMB,

on a

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 93 de plus . sin Fur 1 me" hm..—;:

sin À h

puisque de rapport d’un angle infiniment petit à son sinus a pour limite l'unité. On a donc lim. she — FRA im. ie ARS MV sin6 h7 MI?

donc enfin le problème est encore ramené à la recherche de la limite du rapport des différences des coordonnées de deux points infiniment voisins du lieu. Quand on l’aura trouvée, on connaîtra MI, et par les points PetI on mènera des parallèles à MA, MB, qui par leur rencontre détermineront un point de la tangente. On pourrait procéder d’une autre manière , et calculer les angles de la tangente avec les rayons vecteurs ou les

limites des angles VMM, MM'U. On a, en effet, sin VM'M. MV sin MM'U MU

SV MM” sinU MM’ d’où va sin VM'M sinV MV snMM'U sinU MU or = à pour limite 1 ; donc, en appelant x, y les an-

gles de la tangente MT avec MA, MB, on aura

sin x Me. MV ce SI GPU T A

= = lim. — — —- im.

Sin ÿ MU sin x k

et, comme la somme x + y est connue, le p'oblème est

r * 4 , F . . h résolu dès que l’on connaît la limite du rapport +.

De l'existence des tangentes en général.